Číslo — definice, typy a použití v matematice a každodenním životě

Čísla pro lidi

Čísla se dají označovat různými symboly. Tyto způsoby se nazývají číselné soustavy. Nejběžnější číselnou soustavou, kterou lidé používají, je číselná soustava o základu deset. Desítková číselná soustava se také nazývá desítková číselná soustava. Desítková číselná soustava je běžná, protože lidé mají deset prstů na rukou a deset prstů na nohou. V desítkové číselné soustavě se používá 10 různých symbolů {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9}. Těchto deset symbolů se nazývá číslice.

Symbol čísla se skládá z těchto deseti číslic. Poloha číslic udává, jak velké číslo je. Například číslo 23 v desítkové číselné soustavě skutečně znamená (2 krát 10) plus 3 a 101 znamená 1 krát sto (=100) plus 0 krát 10 (=0) plus 1 krát 1 (=1).

Čísla pro stroje

Pro stroje je běžnější jiný číselný systém. Strojová číselná soustava se nazývá dvojková číselná soustava. Binární číselná soustava se také nazývá číselná soustava se základem dvě. V číselné soustavě o základu dvě se používají dva různé symboly (0 a 1). Tyto dva symboly se nazývají bity.

Symbol binárního čísla se skládá z těchto dvou bitových symbolů. Poloha bitových symbolů udává, jak velké číslo je. Například číslo 10 v binární číselné soustavě skutečně znamená 1 krát 2 plus 0 a 101 znamená 1 krát čtyři (=4) plus 0 krát dva (=0) plus 1 krát 1 (=1). Dvojkové číslo 10 je stejné jako desítkové číslo 2. Binární číslo 101 je stejné jako desítkové číslo 5.

Angličtina má pro některá čísla v desítkové číselné soustavě zvláštní názvy, které jsou "mocninami deseti". Všechny tyto mocniny deseti v desítkové číselné soustavě používají pouze symbol "1" a symbol "0". Například deset desítek je totéž jako desetkrát deset nebo sto. V symbolech je to "10 × 10 = 100". Také deset stovek je totéž jako desetkrát sto neboli tisíc. V symbolech je to "10 × 100 = 10 × 10 × 10 = 1000". Speciální názvy mají i některé další mocniny deseti:

• 1 - jedna
• 10 - deset
• 100 - sto
• 1000 - jeden tisíc
• 1 000 000 - jeden milion

Pokud se jedná o větší čísla, existují dva různé způsoby jejich pojmenování v angličtině. Podle "dlouhé stupnice" se nové jméno dává pokaždé, když je číslo milionkrát větší než posledně pojmenované číslo. Nazývá se také "britský standard". Tato stupnice bývala v Británii běžná, ale dnes se v anglicky mluvících zemích často nepoužívá. Stále se používá v některých jiných evropských zemích. Další stupnicí je "krátká stupnice", podle níž se nové jméno dává pokaždé, když je číslo tisíckrát větší než poslední jmenované číslo. Tato stupnice je dnes mnohem běžnější ve většině anglicky mluvících zemí.

• 1 000 000 000 - jedna miliarda (krátká stupnice), jedna miliarda (dlouhá stupnice)
• 1,000,000,000,000 - jeden bilion (krátká stupnice), jedna miliarda (dlouhá stupnice)
• 1 000 000 000 000 000 000 - jeden kvadrilion (krátké měřítko), jedna miliarda (dlouhé měřítko)

Přirozená čísla

Přirozená čísla jsou čísla, která běžně používáme k počítání, tedy 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 atd. Někteří lidé říkají, že 0 je také přirozené číslo.

Jiný název pro tato čísla je kladná čísla. Tato čísla se někdy zapisují jako +1, aby se ukázalo, že se liší od záporných čísel. Ne všechna kladná čísla jsou však přirozená (například 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} je kladné, ale ne přirozené číslo).

Pokud se 0 nazývá přirozené číslo, pak jsou přirozená čísla stejná jako celá čísla. Pokud se 0 nenazývá přirozeným číslem, pak jsou přirozená čísla stejná jako čísla počítaná. Pokud se tedy nepoužívají slova "přirozená čísla", pak bude méně nejasností ohledně toho, zda je nula zahrnuta, nebo ne. Někteří však bohužel tvrdí, že ani nula není celé číslo, a někteří tvrdí, že celá čísla mohou být záporná. "Kladná celá čísla" a "nezáporná celá čísla" jsou dalším způsobem, jak zahrnout nulu nebo vyloučit nulu, ale pouze pokud lidé tato slova znají.

Záporná čísla

Záporná čísla jsou čísla menší než nula.

Jedním ze způsobů, jak přemýšlet o záporných číslech, je použití číselné řady. Jeden bod na této přímce nazýváme nulou. Každé místo na přímce pak označíme (napíšeme jeho název) podle toho, jak daleko vpravo od nulového bodu se nachází, například bod jedna je jeden centimetr vpravo, bod dva je dva centimetry vpravo.

Nyní si představte bod, který se nachází jeden centimetr vlevo od nulového bodu. Tento bod nemůžeme nazvat jedničkou, protože již existuje bod nazvaný jednička. Proto tento bod nazýváme minus 1 (-1) (protože je vzdálen jeden centimetr, ale v opačném směru).

Níže je uveden nákres číselné řady.

Se zápornými čísly lze provádět všechny běžné matematické operace:

Pokud lidé přičítají záporné číslo k jinému, je to totéž jako odebírat kladné číslo se stejnými číslicemi. Například 5 + (-3) je totéž jako 5 - 3 a rovná se 2.

Pokud od jiného čísla odeberou záporné číslo, je to totéž, jako když kladné číslo se stejnými číslicemi přičtou. Například 5 - (-3) je stejné jako 5 + 3 a rovná se 8.

Pokud vynásobí dvě záporná čísla dohromady, dostanou kladné číslo. Například -5 krát -3 je 15.

Pokud vynásobí záporné číslo kladným číslem nebo vynásobí kladné číslo záporným číslem, dostanou záporný výsledek. Například 5 krát -3 je -15.

Nalezení odmocniny ze záporného čísla je nemožné, protože zápor krát zápor se rovná možnosti. Druhou odmocninu záporného čísla symbolizujeme jako i.

Celá čísla

Celá čísla jsou všechna přirozená čísla, jejich protiklady a nula. Desetinná čísla a zlomky nejsou celá čísla.

Racionální čísla

Racionální čísla jsou čísla, která lze zapsat jako zlomky. To znamená, že je lze zapsat jako a děleno b, kde čísla a a b jsou celá čísla a b není rovno 0.

Některá racionální čísla, například 1/10, potřebují k zápisu v desetinném tvaru konečný počet číslic za desetinnou čárkou. Číslo jedna desetina se zapisuje v desetinném tvaru jako 0,1. Čísla zapsaná v konečném desetinném tvaru jsou racionální. Některá racionální čísla, například 1/11, potřebují k zápisu v desetinném tvaru nekonečný počet číslic za desetinnou čárkou. Číslice za desetinnou čárkou se opakují. Číslo jedna jedenáctina se v desetinném tvaru zapisuje jako 0,0909090909 ... .

Procento by se dalo nazvat racionálním číslem, protože procento jako 7 % lze zapsat jako zlomek 7/100. Lze ho také zapsat jako desetinné číslo 0,07. Někdy se za racionální číslo považuje i poměr.

Iracionální čísla

Iracionální čísla jsou čísla, která nelze zapsat jako zlomek, ale nemají imaginární části (vysvětleno později).

Iracionální čísla se často vyskytují v geometrii. Máme-li například čtverec o straně 1 metr, vzdálenost mezi protilehlými rohy je odmocnina ze dvou, což je 1,414213 ... . To je iracionální číslo. Matematici dokázali, že odmocnina z každého přirozeného čísla je buď celé číslo, nebo iracionální číslo.

Jedním z dobře známých iracionálních čísel je pí. Je to obvod (vzdálenost kolem) kruhu dělený jeho průměrem (vzdálenost napříč). Toto číslo je pro každý kruh stejné. Číslo pí je přibližně 3,1415926535 ... .

Iracionální číslo nelze plně zapsat v desetinném tvaru. Mělo by nekonečný počet číslic za desetinnou čárkou. Na rozdíl od 0,333333 ... by se tyto číslice neopakovaly donekonečna.

Reálná čísla

Reálná čísla je název pro všechny výše uvedené množiny čísel:

• Racionální čísla včetně celých čísel
• Iracionální čísla

Jedná se o všechna čísla, která nezahrnují imaginární čísla.

Imaginární čísla

Imaginární čísla jsou tvořena reálnými čísly vynásobenými číslem i. Toto číslo je druhou odmocninou z mínus jedné (-1).

V reálných číslech neexistuje číslo, které by po vynásobení čtvercem bylo -1. Proto matematici vymysleli číslo. Toto číslo nazvali i neboli imaginární jednotka.

Imaginární čísla se řídí stejnými pravidly jako čísla reálná:

• Součet dvou imaginárních čísel zjistíme vytažením (vynásobením) i. Například 2i + 3i = (2 + 3)i = 5i.
• Podobně se zjistí rozdíl dvou imaginárních čísel. Například 5i - 3i = (5 - 3)i = 2i.
• Při násobení dvou imaginárních čísel pamatujte, že i × i (i ²) je -1. Například 5i × 3i = ( 5 × 3 ) × ( i × i ) = 15 × (-1) = -15.

Imaginární čísla se nazývají imaginární, protože v době jejich objevení si mnoho matematiků myslelo, že neexistují.^[]Osobou, která imaginární čísla objevila, byl Gerolamo Cardano v roce 1500. První, kdo použil slova imaginární číslo, byl René Descartes. První, kdo tato čísla použil, byli Leonard Euler a CarlFriedrich Gauss. Oba žili v 18. století.

Komplexní čísla

Komplexní čísla jsou čísla, která mají dvě části: reálnou a imaginární. Každý typ čísla napsaný výše je také komplexním číslem.

Komplexní čísla jsou obecnější formou čísel. Komplexní čísla lze zakreslit do číselné roviny. Ta se skládá z přímky reálných čísel a přímky imaginárních čísel.

Veškerou běžnou matematiku lze provádět s komplexními čísly:

• Chcete-li sečíst dvě komplexní čísla, sečtěte zvlášť reálnou a imaginární část. Například (2 + 3i) + (3 + 2i) = (2 + 3) + (3 + 2)i= 5 + 5i.
• Chcete-li odečíst jedno komplexní číslo od druhého, odečtěte zvlášť reálnou a imaginární část. Například (7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3) + (5 - 3)i = 4 + 2i.

Násobení dvou komplexních čísel je složité. Nejjednodušší je to popsat obecně, pomocí dvou komplexních čísel a + bi a c + di.

( a + b i ) × ( c + d i ) = a × c + a × d i + b i × c + b i × d i = a c + a d i + b c i - b d = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) i {\displaystyle (a+b\mathrm {i} )\times (c+d\mathrm {i} )=a\times c+a\times d\mathrm {i} +b\mathrm {i} \times c+b\mathrm {i} \times d\mathrm {i} =ac+ad\mathrm {i} +bc\mathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm {i} }

Například (4 + 5i) × (3 + 2i) = (4 × 3 - 5 × 2) + (4 × 2 + 5 × 3)i = (12 - 10) + (8 + 15)i = 2 + 23i.

Transcendentní čísla

Reálné nebo komplexní číslo se nazývá transcendentní číslo, pokud jej nelze získat jako výsledek algebraické rovnice s celočíselnými koeficienty.

a n x n + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}

Dokázat, že určité číslo je transcendentní, může být velmi obtížné. Každé transcendentní číslo je zároveň číslem iracionálním. První, kdo si všiml, že existují transcendentní čísla, byli Gottfried Wilhelm Leibniz a Leonhard Euler. První, kdo skutečně dokázal, že existují transcendentní čísla, byl Joseph Liouville. Učinil tak v roce 1844.

Známá transcendentní čísla:

• e
• π
• e^a pro algebraické a ≠ 0
• 2 2 {\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}