Záporná čísla: definice, vlastnosti a příklady
Záporná čísla: srozumitelná definice, klíčové vlastnosti a názorné příklady pro školu i praxi. Rychlé vysvětlení pravidel sčítání, odčítání a porovnávání.
Záporné číslo je číslo, které označuje opak. Pokud kladné číslo znamená vzdálenost nahoru, pak záporné číslo znamená vzdálenost dolů. Pokud kladné číslo znamená vzdálenost doprava, pak záporné číslo znamená vzdálenost doleva. Pokud kladné číslo znamená vklad na bankovní účet, pak záporné číslo znamená výběr z tohoto účtu. Je-li kladné číslo množství minut v budoucnosti, pak záporné číslo je množství minut v minulosti. Pokud kladné číslo znamená sčítání, pak záporné číslo znamená odčítání.
Všechna počítaná čísla (1, 2, 3 atd.) jsou kladná čísla. Kladná čísla, záporná čísla a nula dohromady se nazývají "čísla se znaménkem" nebo celá čísla.
Číslo nula není ani kladné, ani záporné. Nula je svým vlastním opakem, takže +0 = -0. To znamená, že nula kroků doprava je totéž jako nula kroků doleva.
Záporné číslo je vždy menší než nula.
Záporné číslo se zapisuje tak, že před kladné číslo se napíše znaménko minus, tedy "-". Například 3 je kladné číslo, ale -3 je záporné číslo. Čte se jako "záporná trojka" nebo "mínus trojka"; znamená opak čísla 3.
Záporná čísla jsou na číselné řadě vlevo od nuly. Číslo a jeho opak jsou vždy stejně vzdálené od nuly. Záporné číslo -3 je stejně daleko nalevo od nuly jako číslo 3 napravo od nuly:
Někdy pro zdůraznění píšeme dvojici protilehlých čísel jako -3 a +3.
Číslo a jeho opak se vždy sčítají s nulou. Součet čísel -3 a +3 je tedy 0. Můžeme to zapsat buď jako -3 + 3 = 0, nebo jako 3 + (- 3) = 0. Kromě toho se říká, že se číslo a jeho opak "vzájemně ruší".
Základní vlastnosti a notace
- Pořadí: Všechna záporná čísla jsou menší než nula. Například -5 < -2 < 0 < 2 < 5.
- Vzdálenost od nuly (absolutní hodnota): Absolutní hodnota čísla a značíme |a|. Je to vždy nezáporné číslo udávající vzdálenost od nuly. Např. |−3| = 3 a |3| = 3.
- Opak čísla: Opak čísla a je −a. Číslo a a jeho opak −a mají součet nula: a + (−a) = 0.
Pravidla pro sčítání a odčítání
- Sčítání dvou záporných čísel: součtem velikostí a přidáme znaménko mínus. Např. (−3) + (−2) = −5.
- Sčítání kladného a záporného čísla: odečteme menší absolutní hodnotu od větší a výslednému číslu přiřadíme znaménko toho čísla, které má větší absolutní hodnotu. Např. 7 + (−5) = 2, ale 5 + (−7) = −2.
- Odčítání: odčítání lze převést na sčítání opaku. Např. 4 − (−2) = 4 + 2 = 6 a 4 − 2 = 2.
Pravidla pro násobení a dělení
- Součin nebo podíl dvou čísel se znaménky se řídí pravidlem: stejné znaménko → kladný výsledek, různá znaménka → záporný výsledek.
- (−3) × (−2) = 6
- (−3) × 2 = −6
- (−6) ÷ (−2) = 3
- (−6) ÷ 2 = −3
- Při násobení více čísel platí: pokud je počet záporných čísel sudý, výsledek je kladný; pokud je lichý, výsledek je záporný.
Srovnávání a nerovnice
Při porovnávání záporných čísel platí, že čím je číslo "více záporné" (tzn. menší absolutní hodnota), tím je větší. Například −2 > −5, protože −2 leží blíže nule. Pro nerovnice platí standardní pravidla: když násobíte nebo dělíte nerovnici záporným číslem, musíme změnit směr nerovnosti. Např. z 2x < 6 po vydělení 2 dostaneme x < 3; ale pokud dělíme −2x < 6 obě strany −2, dostaneme x > −3.
Praktické příklady a použití
- Teplota: −5 °C znamená pět stupňů pod nulou.
- Finance: záporný zůstatek (−200 Kč) znamená dluh nebo přečerpání účtu o 200 Kč.
- Pohyb: posun o −7 metrů vlevo nebo dolů oproti referenčnímu bodu.
Ukázkové výpočty
- (−4) + 7 = 3
- (−8) + (−5) = −13
- 10 − (−3) = 10 + 3 = 13
- (−3) × (−4) = 12
- (−12) ÷ 3 = −4
- Řešení rovnice: −x + 5 = 2 → −x = −3 → x = 3
Tipy pro učení
- Pracujte s číselnou osou: vizualizace pomáhá chápat směr a vzdálenost od nuly.
- Převádějte odčítání na sčítání opaku, to často zjednoduší počítání.
- Při násobení a dělení se soustřeďte nejprve na absolutní hodnoty a pak určete výsledné znaménko podle pravidel.
Závěrem: záporná čísla rozšiřují množinu čísel tak, aby bylo možné popsat poklesy, dluhy, pohyby proti směru, a další jevy. Mají pevně daná pravidla pro aritmetické operace, která jsou konzistentní a snadno použitelná s trochou praxe.
Aritmetika se zápornými čísly
- Přičítat k něčemu záporné číslo je totéž jako odčítat od něj kladné číslo. Například přičtení záporného čísla "-1" k číslu "9" je stejné jako odečtení jedničky od devíti. V symbolech:
- Odečítání záporného čísla od něčeho je stejné jako přičítání kladného čísla k něčemu. Například odečtení záporného čísla "-8" od čísla "6" je stejné jako přičtení čísla "6" a čísla "8". V symbolech:
- Záporné číslo vynásobené jiným záporným číslem dává kladné číslo. Například vynásobení záporného čísla "-3" záporným číslem "-2" je stejné jako vynásobení čísla "3" číslem "2". V symbolech:
- Záporné číslo vynásobené kladným číslem dává záporné číslo. Například vynásobení záporného čísla "-4" kladným číslem "5" je jako vynásobení čísla "4" číslem "5", ale odpověď je záporná. V symbolech:
Použití záporného čísla
Když je člověk chudý, lidé někdy říkají, že má záporné množství peněz. Záporná čísla se používají v účetnictví a ve vědě.
Otázky a odpovědi
Otázka: Co je to záporné číslo?
Odpověď: Záporné číslo je číslo, které označuje opak. Například pokud kladné číslo znamená vzdálenost nahoru, pak záporné číslo znamená vzdálenost dolů. Pokud kladné číslo znamená sčítání, pak záporné číslo znamená odčítání.
Otázka: Jak se zapisuje záporné číslo?
Odpověď: Záporné číslo se zapisuje tak, že se před kladnou verzi téhož čísla napíše znaménko minus, "-". Například 3 je kladné číslo a -3 je jeho odpovídající záporná verze.
Otázka: Co jsou čísla se znaménkem?
Odpověď: Znaménková čísla nebo celá čísla jsou množinou všech kladných čísel, záporných čísel a nuly dohromady. Nula sama o sobě nemá žádné zvláštní znaménko, protože ji lze považovat za její vlastní opak; takže +0 = -0.
Otázka: Kde na reálné přímce najdeme záporná čísla?
Odpověď: Záporná čísla se na reálné přímce nacházejí nalevo od nuly.
Otázka: Co se stane, když sečteme dvě čísla s opačným znaménkem?
Odpověď: Když sečteme dvě opačná čísla se znaménkem, vždy se vzájemně vyruší a výsledkem je 0; například -3 + 3 = 0 nebo 3 + (-3) = 0.
Otázka: Existuje jiný způsob, jak znázornit všechna záporná reálná čísla?
Odpověď: Ano, všechna záporná reálná čísla lze také znázornit jako R-{\displaystyle \mathbb {R} _{-}}. .
Vyhledávání