Umocňování

Exponentizace (mocnina) je aritmetická operace s čísly. Je to opakované násobení, stejně jako násobení je opakované sčítání. Lidé píší exponenciálu s horním indexem. Vypadá to takto: x y {\displaystyle x^{y}} {\displaystyle x^{y}}. V minulosti se používaly i jiné způsoby matematického zápisu. Při zápisu pomocí zařízení, která nemohou používat horní index, lidé zapisují mocniny pomocí znamének ^ nebo **, takže 2^3 nebo 2**3 znamená 2 3 {\displaystyle 2^{3}}. {\displaystyle 2^{3}}.

Číslo x {\displaystyle x}x se nazývá základ a číslo y {\displaystyle y}y se nazývá exponent. Například ve tvaru 2 3 {\displaystyle 2^{3}}. {\displaystyle 2^{3}}2 je základ a 3 je exponent.

Pro výpočet 2 3 {\displaystyle 2^{3}}{\displaystyle 2^{3}} musí člověk číslo 2 třikrát vynásobit sám sebou. Takže 2 3 = 2 2 2 {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2}{\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2} . Výsledek je 2 2 2 = 8 {\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8}{\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8} . Rovnici lze nahlas přečíst takto: 2 zvýšené na mocninu 3 je 8.

Příklady:

  • 5 3 = 5 5 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125} {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125}
  • x 2 = x x {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x} {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x}
  • 1 x = 1 {\displaystyle 1^{x}=1}{\displaystyle 1^{x}=1} pro každé číslo x

Pokud je exponent roven 2, pak se mocnina nazývá čtverec, protože plocha čtverce se počítá pomocí 2 {\displaystyle a^{2}}. {\displaystyle a^{2}}. Takže

x 2 {\displaystyle x^{2}}{\displaystyle x^{2}} je čtverec x {\displaystyle x} x

Pokud je exponent roven 3, pak se mocnina nazývá krychle, protože objem krychle se počítá pomocí 3 {\displaystyle a^{3}}. {\displaystyle a^{3}}. Takže

x 3 {\displaystyle x^{3}}{\displaystyle x^{3}} je krychle x {\displaystyle x} x

Pokud je exponent roven -1, musí osoba vypočítat inverzní hodnotu základu. Takže

x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}

Pokud je exponent celé číslo a je menší než 0, musí osoba číslo převrátit a vypočítat mocninu. Například:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}=\levá({\frac {1}{2}}}pravá)^{3}={\frac {1}{8}}}} {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}

Pokud je exponent roven 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}{\displaystyle {\frac {1}{2}}}, pak je výsledkem exponentizace odmocnina ze základu. Takže x 1 2 = x . {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}. } {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.}Příklad:

4 1 2 = 4 = 2 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2} {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2}

Podobně, pokud je exponent 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}}{\displaystyle {\frac {1}{n}}}, je výsledkem n-tá odmocnina, takže:

a 1 n = a n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}} {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}

Pokud je exponentem racionální číslo p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}) {\displaystyle {\frac {p}{q}}}, pak výsledkem je q-tá odmocnina základu zvýšená na mocninu p, takže:

a p q = a p q {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}} {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}}

Exponent nemusí být ani racionální. Chceme-li zvýšit základ a na iracionální x-tou mocninu, použijeme nekonečnou posloupnost racionálních čísel (xi), jejíž limitou je x:

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}} {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}

jako je tento:

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}} {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}}

Existují určitá pravidla, která pomáhají vypočítat síly:

  • ( a b ) n = a n b n {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}} {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}}
  • ( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0} {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0}
  • a r a s = a r + s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}} {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}}
  • a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0} {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0}
  • a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0} {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0}
  • ( a r ) s = a r s {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}} {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}}
  • a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1} {\displaystyle a^{0}=1}

Je možné vypočítat exponenciálu matic. Matice musí být čtvercová. Například: I 2 = I I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I}{\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} .

Komutativita

Sčítání i násobení jsou komutativní. Například 2+3 je totéž co 3+2 a 2 - 3 je totéž co 3 - 2. Exponenciální násobení je sice opakované násobení, ale není komutativní. Například 2³=8, ale 3²=9.

Inverzní operace

Sčítání má jednu inverzní operaci: odčítání. Také násobení má jednu inverzní operaci: dělení.

Exponentizace má však dvě inverzní operace: Kořen a logaritmus. Je tomu tak proto, že exponentizace není komutativní. Můžete se o tom přesvědčit na tomto příkladu:

  • Pokud máte x+2=3, můžete pomocí odčítání zjistit, že x=3-2. Totéž platí, pokud máte 2+x=3: také dostanete x=3-2. Je to proto, že x+2 je stejné jako 2+x.
  • Máme-li x - 2=3, pak pomocí dělení zjistíme, že x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}. {\textstyle {\frac {3}{2}}}. Totéž platí, pokud máte 2 - x=3: také dostanete x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}. {\textstyle {\frac {3}{2}}}. Je to proto, že x - 2 je totéž jako 2 - x
  • Pokud máte x²=3, pak k určení x použijete (odmocninu): Dostanete výsledek x = 3 2 {\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}. {\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}. Pokud však máte 2x=3, pak nemůžete použít odmocninu pro zjištění x. Spíše musíte použít (dvojkový) logaritmus pro zjištění x: Dostanete výsledek x=log2(3).

Související stránky

  • Exponent

AlegsaOnline.com - 2020 / 2021 - License CC3