Umocňování

Exponentizace (mocnina) je aritmetická operace s čísly. Je to opakované násobení, stejně jako násobení je opakované sčítání. Lidé píší exponenciálu s horním indexem. Vypadá to takto: x y {\displaystyle x^{y}} $x^{y}$ . V minulosti se používaly i jiné způsoby matematického zápisu. Při zápisu pomocí zařízení, která nemohou používat horní index, lidé zapisují mocniny pomocí znamének ^ nebo **, takže 2^3 nebo 2**3 znamená 2 3 {\displaystyle 2^{3}}. $2^{3}$ .

Číslo x {\displaystyle x} se nazývá základ a číslo y {\displaystyle y} se nazývá exponent. Například ve tvaru 2 3 {\displaystyle 2^{3}}. $2^{3}$ 2 je základ a 3 je exponent.

Pro výpočet 2 3 {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ musí člověk číslo 2 třikrát vynásobit sám sebou. Takže 2 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2} $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2$ . Výsledek je 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 {\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8} $2\cdot 2\cdot 2=8$ . Rovnici lze nahlas přečíst takto: 2 zvýšené na mocninu 3 je 8.

Příklady:

5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125} $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
x 2 = x ⋅ x {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x} $x^{2}=x\cdot {}x$
1 x = 1 {\displaystyle 1^{x}=1} $1^{x}=1$ pro každé číslo x

Pokud je exponent roven 2, pak se mocnina nazývá čtverec, protože plocha čtverce se počítá pomocí 2 {\displaystyle a^{2}}. $a^{2}$ . Takže

x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ je čtverec x {\displaystyle x}

Pokud je exponent roven 3, pak se mocnina nazývá krychle, protože objem krychle se počítá pomocí 3 {\displaystyle a^{3}}. $a^{3}$ . Takže

x 3 {\displaystyle x^{3}} $x^{3}$ je krychle x {\displaystyle x}

Pokud je exponent roven -1, musí osoba vypočítat inverzní hodnotu základu. Takže

x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$

Pokud je exponent celé číslo a je menší než 0, musí osoba číslo převrátit a vypočítat mocninu. Například:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}=\levá({\frac {1}{2}}}pravá)^{3}={\frac {1}{8}}}} $2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}$

Pokud je exponent roven 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ${\frac {1}{2}}$ , pak je výsledkem exponentizace odmocnina ze základu. Takže x 1 2 = x . {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}. } $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ Příklad:

4 1 2 = 4 = 2 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2} $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

Podobně, pokud je exponent 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} ${\frac {1}{n}}$ , je výsledkem n-tá odmocnina, takže:

a 1 n = a n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}} $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Pokud je exponentem racionální číslo p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}) ${\frac {p}{q}}$ , pak výsledkem je q-tá odmocnina základu zvýšená na mocninu p, takže:

a p q = a p q {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}} $a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

Exponent nemusí být ani racionální. Chceme-li zvýšit základ a na iracionální x-tou mocninu, použijeme nekonečnou posloupnost racionálních čísel (xi), jejíž limitou je x:

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}} $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

jako je tento:

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}} $a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Existují určitá pravidla, která pomáhají vypočítat síly:

( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}} $\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0} $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
a r ⋅ a s = a r + s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}} $a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0} ${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0} $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
( a r ) s = a r ⋅ s {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}} $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1} $a^{0}=1$

Je možné vypočítat exponenciálu matic. Matice musí být čtvercová. Například: I 2 = I ⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} $I^{2}=I\cdot I=I$ .

Komutativita

Sčítání i násobení jsou komutativní. Například 2+3 je totéž co 3+2 a 2 - 3 je totéž co 3 - 2. Exponenciální násobení je sice opakované násobení, ale není komutativní. Například 2³=8, ale 3²=9.

Inverzní operace

Sčítání má jednu inverzní operaci: odčítání. Také násobení má jednu inverzní operaci: dělení.

Exponentizace má však dvě inverzní operace: Kořen a logaritmus. Je tomu tak proto, že exponentizace není komutativní. Můžete se o tom přesvědčit na tomto příkladu:

Pokud máte x+2=3, můžete pomocí odčítání zjistit, že x=3-2. Totéž platí, pokud máte 2+x=3: také dostanete x=3-2. Je to proto, že x+2 je stejné jako 2+x.
Máme-li x - 2=3, pak pomocí dělení zjistíme, že x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}. ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Totéž platí, pokud máte 2 - x=3: také dostanete x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}. ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Je to proto, že x - 2 je totéž jako 2 - x
Pokud máte x²=3, pak k určení x použijete (odmocninu): Dostanete výsledek x = 3 2 {\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}. ${\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}$ . Pokud však máte ^2x=3, pak nemůžete použít odmocninu pro zjištění x. Spíše musíte použít (dvojkový) logaritmus pro zjištění x: Dostanete výsledek x=log2(3).

Související stránky

Exponent

Otázky a odpovědi

Otázka: Co je to exponentizace?

Odpověď: Exponentizace je aritmetická operace s čísly, kterou si lze představit jako opakované násobení.

Otázka: Jak se exponentizace zapisuje?

Odpověď: Exponentizace se obvykle zapisuje jako x^y, kde x je základ a y je exponent. Lze ji také zapsat pomocí znamének ^ nebo **, například 2^4 nebo 2**4.

Otázka: Jaké jsou příklady exponentizace?

Odpověď: Mezi příklady exponentizace patří 5^3 = 5*5*5 = 125; x^2 = x*x; 1^x = 1 pro každé číslo x; a 4^(1/2) = sqrt(4) = 2.

Otázka: Co znamená, když je exponent roven -1?

Odpověď: Když je exponent roven -1, pak je mocnina jednoduše reciproká hodnota základu (x^(-1) = 1/x).

Otázka: Jak se počítá iracionální mocnina základu?

Odpověď: Chceme-li zvýšit základ a na iracionální x-tou mocninu, použijeme nekonečnou posloupnost racionálních čísel (xn), jejíž limitou je x (a^x = lim n-> nekonečno a^(x_n)).

Otázka: Existují nějaká pravidla, která usnadňují výpočet exponentů?

Odpověď: Ano, existuje několik pravidel, která usnadňují výpočet exponentů. Patří mezi ně (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n; a ^ r * a ^ s=a ^ (r + s); a tak dále.