Logaritmus: co to je, druhy a příklady (desítkový a přirozený)

Logaritmy byly poprvé použity v Indii ve 2. století před naším letopočtem. V moderní době logaritmy jako první použil německý matematik Michael Stifel (asi 1487-1567). V roce 1544 zapsal následující rovnice: q m q n = q m + n {\displaystyle q^{m}q^{n}=q^{m+n}} a q m q n = q m - n {\displaystyle {\tfrac {q^{m}}{q^{n}}}=q^{m-n}}}. To je základ pro pochopení logaritmů. Pro Stifela musely být m {\displaystyle m} a n {\displaystyle n} celá čísla. John Napier (1550-1617) toto omezení nechtěl a chtěl pro exponenty rozsah.

Podle Napiera vyjadřují logaritmy poměry: a {\displaystyle a} má stejný poměr k b {\displaystyle b} , jako c {\displaystyle c} k d {\displaystyle d}, pokud se shoduje rozdíl jejich logaritmů. Matematicky: log ( a ) - log ( b ) = log ( c ) - log ( d ) {\displaystyle \log(a)-\log(b)=\log(c)-\log(d)} . Zpočátku se používal základ e (i když číslo ještě nebylo pojmenováno). Henry Briggs navrhl používat jako základ pro logaritmy číslo 10. Tyto logaritmy jsou velmi užitečné v astronomii.

Logaritmus říká, jaký exponent (nebo mocnina) je potřeba k vytvoření určitého čísla, takže logaritmy jsou inverzní (opačné) k exponenciále.

Stejně jako má exponenciální funkce tři části, má logaritmus tři části. Třemi částmi logaritmu jsou základ, argument a odpověď (nazývaná také mocnina).

Jedná se o exponenciální funkci:

2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8\ }

V této funkci je základem 2, argumentem je 3 a odpovědí je 8.

Tato exponenciální funkce má inverzní hodnotu, svůj logaritmus:

log 2 ( 8 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(8)=3\ }

V tomto logaritmu je základ 2, argument 8 a odpověď 3.

Sčítání má jednu inverzní operaci: odčítání. Také násobení má jednu inverzní operaci: dělení. Proto může být těžké pochopit, proč má exponenciála vlastně dvě inverzní operace: Proč potřebujeme logaritmus, když už existuje kořen? Je tomu tak proto, že exponentizace není komutativní.

To ilustruje následující příklad:

• Pokud máte x+2=3, můžete pomocí odčítání zjistit, že x=3-2. Totéž platí, pokud máte 2+x=3: také dostanete x=3-2. Je to proto, že x+2 je totéž co 2+x.
• Máme-li x - 2=3, pak pomocí dělení zjistíme, že x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} . Totéž platí, pokud máte 2 - x=3: také dostanete x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} . Je to proto, že x - 2 je totéž co 2 - x.
• Pokud máte x²=3, pak k určení x použijete (odmocninu): Dostanete výsledek x = 3 {\textstyle {\sqrt {3}}} . Pokud však máte 2^x =3, pak nemůžete použít odmocninu k určení x. Spíše musíte použít (dvojkový) logaritmus k určení x: Dostanete výsledek x=log₂(3).
  Je to proto, že 2 ^xobvykle není stejné jako x ²(například 2 ⁵=32, ale 5²=25).

Logaritmy mohou usnadnit násobení a dělení velkých čísel, protože sčítání logaritmů je stejné jako násobení a odčítání logaritmů je stejné jako dělení.

Než se rozšířily kalkulačky, používali lidé k násobení a dělení logaritmické tabulky v knihách. Stejné informace v logaritmické tabulce byly k dispozici na posuvném pravidle, nástroji, na kterém byly logaritmy napsány.

• Logaritmické spirály jsou v přírodě běžné. Příkladem je schránka nautiluse nebo uspořádání semen na slunečnici.
• V chemii je záporná hodnota logaritmu o základu 10 aktivity hydroniových iontů (H₃O ⁺, forma H ve ⁺vodě) mírou známou jako pH. Aktivita hydroniových iontů v neutrální vodě je 10 ⁻⁷mol/l při 25 °C, tedy pH 7. (To je důsledek rovnovážné konstanty, součinu koncentrace hydroniových iontů a hydroxylových iontů ve vodných roztocích, která je 10 ⁻¹⁴M².)
• Richterova stupnice měří intenzitu zemětřesení na logaritmické stupnici o základu 10.
• V astronomii měří zdánlivá hvězdná velikost jasnost hvězd logaritmicky, protože oko reaguje na jasnost také logaritmicky.
• Hudební intervaly se měří logaritmicky jako půltóny. Interval mezi dvěma tóny v půltónech je logaritmem poměru frekvencí o základu 2^1/12 (nebo ekvivalentně 12násobkem logaritmu o základu 2). Zlomkové půltóny se používají u nerovnoměrných temperamentů. Zejména pro měření odchylek od rovnoměrně temperované stupnice se intervaly vyjadřují také v centech (setinách rovnoměrně temperovaného půltónu). Interval mezi dvěma tóny v centech je logaritmem poměru frekvencí o základu 2^1/1200 (neboli 1200krát logaritmus o základu 2). V MIDI jsou noty číslovány na půltónové stupnici (logaritmická absolutní nominální výška tónu se středním C na 60). Pro přeladění na jiné systémy ladění je definována logaritmická stupnice, která kompatibilním způsobem vyplňuje rozsahy mezi půltóny rovnoměrně temperované stupnice. Tato stupnice odpovídá číslům not pro celé půltóny. (viz mikroladění v MIDI).

Logaritmy do základu 10 se nazývají běžné logaritmy. Obvykle se zapisují bez základu. Například:

log ( 100 ) = 2 {\displaystyle \log(100)=2\ }

To znamená:

10 2 = 100 {\displaystyle 10^{2}=100\ }

Logaritmy do základu e se nazývají přirozené logaritmy. Číslo e je téměř 2,71828 a nazývá se také Eulerova konstanta podle matematika Leonharda Eulera.

Přirozené logaritmy mohou mít symboly log e ( x ) {\displaystyle \log _{e}(x)\,} nebo ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)\,}.

Někteří autoři dávají přednost používání přirozených logaritmů jako log ( x ) {\displaystyle \log(x)}, ale obvykle se o tom zmiňují na úvodních stránkách.

Logaritmy mají mnoho vlastností. Například:

Vlastnosti z definice logaritmu

Tato vlastnost vyplývá přímo z definice logaritmu:

log n ( n a ) = a {\displaystyle \log _{n}(n^{a})=a} Například

log 2 ( 2 3 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(2^{3})=3} a

log 2 ( 1 2 ) = - 1 {\displaystyle \log _{2}{\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}=-1}, protože 1 2 = 2 - 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}=2^{-1}} .

Logaritmus čísla a
do základu b je stejný jako logaritmus čísla a dělený logaritmem čísla b. To znamená,

log b ( a ) = log ( a ) log ( b ) {\displaystyle \log _{b}(a)={\frac {\log(a)}{\log(b)}}}}

Například nechť a je 6 a b je 2. Pomocí kalkulaček můžeme ukázat, že je to pravda nebo alespoň velmi blízko:

log 2 ( 6 ) = log ( 6 ) log ( 2 ) {\displaystyle \log _{2}(6)={\frac {\log(6)}{\log(2)}}}

log 2 ( 6 ) ≈ 2,584962 {\displaystyle \log _{2}(6)\přibližně 2,584962}

2,584962 ≈ 0,778151 0,301029 ≈ 2,584970 {\displaystyle 2,584962\approx {\frac {0,778151}{0,301029}}\approx 2,584970}

Naše výsledky vykazovaly malou chybu, ale ta byla způsobena zaokrouhlováním čísel.

Protože je obtížné představit si přirozený logaritmus, zjistíme, že v termínech logaritmu o základu deset:

ln ( x ) = log ( x ) log ( e ) ≈ log ( x ) 0,434294 {\displaystyle \ln(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}}\aprox {\frac {\log(x)}{0,434294}}}} Kde 0,434294 je aproximace logaritmu e.

Operace v rámci argumentů logaritmu

Logaritmy, které se násobí uvnitř svého argumentu, lze změnit takto:

log ( a b ) = log ( a ) + log ( b ) {\displaystyle \log(ab)=\log(a)+\log(b)}

Například,

log ( 1000 ) = log ( 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ) = log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) = 1 + 1 + 1 = 3 {\displaystyle \log(1000)=\log(10\cdot 10\cdot 10)=\log(10)+\log(10)+\log(10)=1+1+1=3}

Totéž platí i pro dělení, ale místo sčítání se používá odčítání, protože jde o inverzní operaci k násobení:

log ( a b ) = log ( a ) - log ( b ) {\displaystyle \log {\bigg (}{\frac {a}{b}}{\bigg )}=\log(a)-\log(b)}

Logaritmické tabulky, posuvná pravidla a historické aplikace

Před nástupem elektronických počítačů používali vědci logaritmy každý den. Logaritmy pomáhaly vědcům a inženýrům v mnoha oborech, například v astronomii.

Před nástupem počítačů byla důležitým nástrojem tabulka logaritmů. V roce 1617 vytiskl Henry Briggs první logaritmickou tabulku. Bylo to brzy po Napierově základním vynálezu. Později lidé vytvářeli tabulky s větším rozsahem a přesností. Tyto tabulky uváděly hodnoty log_b(x) a b ^xpro libovolné číslo x v určitém rozsahu, s určitou přesností, pro určitý základ b (obvykle b = 10). Například Briggsova první tabulka obsahovala obyčejné logaritmy všech celých čísel v rozsahu 1-1000 s přesností na 8 číslic. Protože funkce f(x) = b ^xje inverzní funkcí log _b(x), byla nazvána antilogaritmem. Lidé tyto tabulky používali k násobení a dělení čísel. Uživatel například vyhledal v tabulce logaritmus pro každé ze dvou kladných čísel. Složením čísel z tabulky by získal logaritmus součinu. Antilogaritmická funkce tabulky by pak na základě logaritmu našla součin.

Při ručních výpočtech, které vyžadují přesnost, je provedení vyhledání dvou logaritmů, výpočet jejich součtu nebo rozdílu a vyhledání antilogaritmu mnohem rychlejší než provedení násobení dřívějšími způsoby.

Mnoho logaritmických tabulek udává logaritmy tak, že odděleně uvádí charakteristiku a mantisu x, tj. celočíselnou a zlomkovou část log ₁₀(x). Charakteristika 10 - x je jedna plus charakteristika x a jejich signifikance jsou stejné. Tím se rozšiřuje oblast působnosti logaritmických tabulek: je-li k dispozici tabulka s výpisem log₁₀(x) pro všechna celá čísla x v rozsahu od 1 do 1000, je logaritmus 3542 aproximován vztahem

log 10 ( 3542 ) = log 10 ( 10 ⋅ 354,2 ) = 1 + log 10 ( 354,2 ) ≈ 1 + log 10 ( 354 ) . {\displaystyle \log _{10}(3542)=\log _{10}(10\cdot 354,2)=1+\log _{10}(354,2)\aprox 1+\log _{10}(354).\,}

Další důležitou aplikací bylo posuvné pravidlo, dvojice logaritmicky rozdělených stupnic, které se používaly pro výpočty, jak je znázorněno na obrázku:

Čísla jsou vyznačena na posuvných stupnicích ve vzdálenostech úměrných rozdílům jejich logaritmů. Posouvání horní stupnice se rovná mechanickému sčítání logaritmů. Například přičtením vzdálenosti od 1 do 2 na spodní stupnici ke vzdálenosti od 1 do 3 na horní stupnici získáme součin 6, který se odečte na spodní části. Mnoho inženýrů a vědců používalo posuvná pravidla až do 70. let 20. století. Vědci mohou pomocí posuvného pravidla pracovat rychleji než pomocí logaritmické tabulky.