Matice

Definice a poznámky

Vodorovné čáry v matici se nazývají řádky a svislé čáry sloupce. Matice s m řádky a n sloupci se nazývá matice m × n (nebo m × n) a m a n se nazývají její rozměry.

Místa v matici, kde jsou čísla, se nazývají položky. Položka matice A, která leží v řádku číslo i a sloupci číslo j, se nazývá položka i,j matice A. Zapisuje se jako A[i,j] nebo _ai,j.

Píšeme A := ( a i j ) m × n {\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}}, abychom definovali matici m × n A s každým záznamem v matici nazvaným _ai,j pro všechna 1 ≤ i ≤ m a 1 ≤ j ≤ n.

Příklad

Matice

[ 1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\1&2&7\4&9&2\6&1&5\end{bmatrix}}

je matice 4×3. Tato matice má m=4 řádky a n=3 sloupce.

Prvek A[2,3] nebo a2_,3 je 7.

Operace

Dodatek

Součet dvou matic je matice, jejíž (i,j)-tý zápis je roven součtu (i,j)-tých zápisů dvou matic:

[ 1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}

Obě matice mají stejné rozměry. Zde platí A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A}.

Násobení dvou matic

Násobení dvou matic je o něco složitější:

[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\\end{bmatrix}}}

Stejně tak u čísel:

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\1&4\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\5&0\\konec{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}}

• dvě matice lze vzájemně násobit, i když mají různé rozměry, pokud je počet sloupců první matice roven počtu řádků druhé matice.
• výsledkem násobení, nazývaného součin, je jiná matice se stejným počtem řádků jako první matice a stejným počtem sloupců jako druhá matice.
• násobení matic není komutativní, což obecně znamená, že A ⋅ B ≠ B ⋅ A {\displaystyle A\cdot B\neq B\cdot A}.
• násobení matic je asociativní, což znamená, že ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) {\displaystyle (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)}

Speciální matice

Některé matice jsou speciální.

Čtvercová matice

Čtvercová matice má stejný počet řádků jako sloupců, takže m=n.

Příkladem čtvercové matice je

[ 5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&-2&4\0&9&1\-7&6&8\\\end{bmatrix}}

Tato matice má 3 řádky a 3 sloupce: m=n=3.

Identita

Každá množina čtvercových rozměrů matice má speciální protějšek, který se nazývá "matice identity". Identitní matice má pouze nuly s výjimkou hlavní diagonály, kde jsou samé jedničky. Např:

[ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1\\\end{bmatrix}}

je maticí identity. Pro každou množinu čtvercových rozměrů existuje přesně jedna identitní matice. Identitní matice je zvláštní tím, že při násobení libovolné matice maticí identity je výsledkem vždy původní matice beze změny.

Inverzní matice

Inverzní matice je matice, která se po vynásobení jinou maticí rovná matici identity. Například:

[ 7 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\-6&7\\{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\0&1\\{bmatrix}}}

[ 7 - 8 - 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&-8\6&7\\end{bmatrix}} je inverzní k [ 7 8 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\6&7\\end{bmatrix}}. .

Vzorec pro inverzní matici 2x2, [ x y z v ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\z&v\end{bmatrix}}} je:

( 1 d e t ) [ v - y - z x ] {\displaystyle \left({\frac {1}{det}}\right){\begin{bmatrix}v&-y\-z&x\end{bmatrix}}}

Kde d e t {\displaystyle det} je determinant matice. V matici 2x2 je determinant roven:

x v - y z {\displaystyle {xv-yz}}

Jednosloupcová matice

Matice, která má mnoho řádků, ale pouze jeden sloupec, se nazývá sloupcový vektor.

Determinanty

Determinant bere čtvercovou matici a vypočítá jednoduché číslo, skalár. Abyste pochopili, co toto číslo znamená, vezměte každý sloupec matice a nakreslete jej jako vektor. Rovnoběžník nakreslený těmito vektory má plochu, která je determinantem. Pro všechny matice 2x2 je vzorec velmi jednoduchý: det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc}.

Pro matice 3x3 je vzorec složitější: det ( [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}

Pro determinanty větších matic neexistují jednoduché vzorce a mnoho programátorů studuje, jak přimět počítače k rychlému nalezení velkých determinantů.

Vlastnosti determinantů

Všechny determinanty se řídí třemi pravidly. Jsou to:

• Determinant matice identity je 1
• Pokud se vymění dva řádky nebo dva sloupce matice, pak se determinant vynásobí -1. Matematici tomu říkají střídání.
• Pokud jsou všechna čísla v jednom řádku nebo sloupci vynásobena jiným číslem n, pak je determinant vynásoben n. Také pokud má matice M sloupec v, který je součtem dvou sloupcových matic v 1 {\displaystyle v_{1}} a v 2 {\displaystyle v_{2}}. , pak determinant M je součtem determinantů M s v 1 {\displaystyle v_{1}} na místě v a M s v 2 {\displaystyle v_{2}} na místě v. Tyto dvě podmínky se nazývají multilinearita.

Viz také

• Lineární algebra
• Numerická lineární algebra