Komplexní číslo
Komplexní číslo je číslo, které se však od běžných čísel v mnoha ohledech liší. Komplexní číslo je tvořeno kombinací dvou čísel. První část je reálné číslo. Druhou částí komplexního čísla je imaginární číslo. Nejdůležitější imaginární číslo se nazývá i {\displaystyle i}
, definované jako číslo, které bude mít po vynásobení čtvercem hodnotu -1 ("vynásobeno čtvercem" znamená "vynásobeno sebou samým"): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\krát i=-1\ } 
. Všechna ostatní imaginární čísla jsou i {\displaystyle i} vynásobená reálným číslem, stejně jako všechna reálná čísla lze považovat za 1 vynásobená jiným číslem. S komplexními čísly lze používat aritmetické funkce, jako je sčítání, odčítání, násobení a dělení. Stejně jako reálná čísla se řídí komutativními, asociativními a distributivními vlastnostmi.
Komplexní čísla byla objevena při řešení speciálních rovnic, které obsahují exponenty. Ty začaly pro matematiky představovat skutečný problém. Pro srovnání, při použití záporných čísel je možné najít x v rovnici a + x = b {\displaystyle a+x=b}
pro všechny reálné hodnoty a a b, ale pokud jsou pro x povolena pouze kladná čísla, je někdy nemožné najít kladné x, jako v rovnici 3 + x = 1.
Při exponenciálním vyjádření je třeba překonat obtíž. Neexistuje žádné reálné číslo, které by po odmocnění dávalo -1. Jinými slovy, -1 (ani žádné jiné záporné číslo) nemá reálnou odmocninu. Například neexistuje reálné číslo x {\displaystyle x}
, které by řešilo ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9}
. K vyřešení tohoto problému zavedli matematici symbol i a nazvali ho imaginární číslo. Jedná se o imaginární číslo, které po odmocnění dá -1.
Prvními matematiky, které to napadlo, byli pravděpodobně Gerolamo Cardano a Raffaele Bombelli. Žili v 16. století. Byl to pravděpodobně Leonhard Euler, kdo zavedl psaní i {\displaystyle \mathrm {i}. } 
pro toto číslo.
Všechna komplexní čísla lze zapsat jako a + b i {\displaystyle a+bi} 
(nebo a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i}
), kde a se nazývá reálná část čísla a b imaginární část. Píšeme ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} 
nebo Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re}. (z)}
pro reálnou část komplexního čísla z {\displaystyle z}
. Pokud tedy z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}
, píšeme a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re}. (z)}
. Podobně píšeme ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)}
nebo Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im}}. (z)}
pro imaginární část komplexního čísla z {\displaystyle z} ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)} 
, pro stejné z. Každé reálné číslo je také komplexní číslo; je to komplexní číslo z s ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0}
.
Komplexní číslo lze také zapsat jako uspořádanou dvojici (a, b). Obě čísla a a b jsou reálná čísla. Každé reálné číslo lze jednoduše zapsat jako a + 0 ⋅ i {\displayystyle a+0\cdot i} 
nebo jako dvojici (a, 0).
Někdy se místo i {\displaystyle i} píše j {\displaystyle j}
. V elektrotechnice znamená i {\displaystyle i} elektrický proud. Psaní i {\displaystyle i} může způsobit mnoho problémů, protože některá čísla v elektrotechnice jsou složená čísla.
Množina všech komplexních čísel se obvykle zapisuje jako C {\displaystyle \mathbb {C} } 
.
Operace nad komplexními čísly
Sčítání, odčítání, násobení, dělení, pokud dělitel není nula, a exponenciála (zvyšování čísel na exponenty) jsou možné s komplexními čísly. S komplexními čísly lze provádět i některé další výpočty.
Pravidlo pro sčítání a odčítání složených čísel je poměrně jednoduché:
Nechť z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} 
pak z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
, a z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
.
S násobením je to trochu jinak:
z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } 
Další významnou operací pro komplexní čísla je konjugace. Komplexní konjugát z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}}
k z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} je a - b i {\displaystyle a-bi}
. Je to celkem jednoduché, ale pro výpočty důležité, protože z × z ž {\displaystyle z\times {\overline {z}}}
patří do reálných čísel pro všechna komplexní z {\displaystyle z} :
z z¯ = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}} 
.
Toho můžeme využít k dělení:
1 z = z ¯ z z ¯ = a - b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} 
w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\displaystyle {\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right). } 
Další formy popisu komplexních čísel
Komplexní čísla lze zobrazit v tzv. komplexní rovině. Máme-li číslo z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} , můžeme jít do bodu na reálné ose a do bodu b na imaginární ose a nakreslit vektor z ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)}
do ( a , b ) {\displaystyle (a,b)}
. Délku tohoto vektoru lze vypočítat pomocí Pythagorovy věty a úhlu mezi kladnou reálnou osou a tímto vektorem, přičemž se postupuje proti směru hodinových ručiček. Délka vektoru pro číslo z {\displaystyle z} se nazývá jeho modul (zapsaný jako | z | {\displaystyle |z|}
) a úhel se nazývá jeho argument ( arg z {\displaystyle \arg z}
).
To vede k trigonometrické formě popisu komplexních čísel: podle definic sinusu a kosinusu platí pro všechna z {\displaystyle z}, že
z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z). } 
To úzce souvisí s De Moivrovým vzorcem.
Existuje ještě další forma, tzv. exponenciálníforma.
Komplexní číslo lze vizuálně znázornit jako dvě čísla, která tvoří vektor na Argandově diagramu znázorňujícím komplexní rovinu.
Závěr
Po přidání komplexních čísel do matematiky má každý polynom s komplexními koeficienty kořeny, které jsou komplexními čísly. Úspěšné přidání komplexních čísel do matematiky také pomohlo otevřít cestu k vytvoření dalších druhů čísel, která by mohla vyřešit a pomoci vysvětlit mnoho různých problémů, například: hyperkomplexní čísla, sedenion, hyperrealistická čísla, surrealistická čísla a mnoho dalších. Viz typy čísel.
Otázky a odpovědi
Otázka: Co je to složené číslo?
Odpověď: Komplexní číslo je číslo složené ze dvou částí, přičemž první část je reálné číslo a druhá část je imaginární číslo.
Otázka: Jaké je nejdůležitější imaginární číslo?
Odpověď: Nejdůležitější imaginární číslo se nazývá i a je definováno jako číslo, které bude po vynásobení čtvercem mít hodnotu -1.
Otázka: Jak se používají aritmetické funkce s komplexními čísly?
Odpověď: S komplexními čísly lze používat aritmetické funkce, jako je sčítání, odčítání, násobení a dělení. Stejně jako reálná čísla se řídí komutativními, asociativními a distributivními vlastnostmi.
Otázka: Jaký symbol představuje množinu komplexních čísel?
Odpověď: Množina komplexních čísel se často znázorňuje pomocí symbolu C.
Otázka: Proč byla komplexní čísla objevena?
Odpověď: Komplexní čísla byla objevena při pokusech o řešení speciálních rovnic, které obsahují exponenty, protože pro matematiky představovaly skutečný problém.
Otázka: Kdo zavedl psaní i pro tento typ čísla?
Odpověď: Pravděpodobně to byl Leonhard Euler, kdo zavedl psaní i pro tento typ čísla.
Otázka: Jak lze komplexní číslo zapsat jako uspořádanou dvojici?
A: Komplexní číslo lze zapsat jako uspořádanou dvojici (a, b), kde a i b jsou reálná čísla.
