Komplexní číslo je číslo, které se však od běžných čísel v mnoha ohledech liší. Komplexní číslo je tvořeno kombinací dvou čísel. První část je reálné číslo. Druhou částí komplexního čísla je imaginární číslo. Nejdůležitější imaginární číslo se nazývá i {\displaystyle i}{\displaystyle i} , definované jako číslo, které bude mít po vynásobení čtvercem hodnotu -1 ("vynásobeno čtvercem" znamená "vynásobeno sebou samým"): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\krát i=-1\ } {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ }. Všechna ostatní imaginární čísla jsou i {\displaystyle i}{\displaystyle i} vynásobená reálným číslem, stejně jako všechna reálná čísla lze považovat za 1 vynásobená jiným číslem. S komplexními čísly lze používat aritmetické funkce, jako je sčítání, odčítání, násobení a dělení. Stejně jako reálná čísla se řídí komutativními, asociativními a distributivními vlastnostmi.

Komplexní čísla byla objevena při řešení speciálních rovnic, které obsahují exponenty. Ty začaly pro matematiky představovat skutečný problém. Pro srovnání, při použití záporných čísel je možné najít x v rovnici a + x = b {\displaystyle a+x=b}{\displaystyle a+x=b} pro všechny reálné hodnoty a a b, ale pokud jsou pro x povolena pouze kladná čísla, je někdy nemožné najít kladné x, jako v rovnici 3 + x = 1.

Při exponenciálním vyjádření je třeba překonat obtíž. Neexistuje žádné reálné číslo, které by po odmocnění dávalo -1. Jinými slovy, -1 (ani žádné jiné záporné číslo) nemá reálnou odmocninu. Například neexistuje reálné číslo x {\displaystyle x}x, které by řešilo ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9}{\displaystyle (x+1)^{2}=-9} . K vyřešení tohoto problému zavedli matematici symbol i a nazvali ho imaginární číslo. Jedná se o imaginární číslo, které po odmocnění dá -1.

Prvními matematiky, které to napadlo, byli pravděpodobně Gerolamo Cardano a Raffaele Bombelli. Žili v 16. století. Byl to pravděpodobně Leonhard Euler, kdo zavedl psaní i {\displaystyle \mathrm {i}. } {\displaystyle \mathrm {i} }pro toto číslo.

Všechna komplexní čísla lze zapsat jako a + b i {\displaystyle a+bi} {\displaystyle a+bi}(nebo a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i}{\displaystyle a+b\cdot i} ), kde a se nazývá reálná část čísla a b imaginární část. Píšeme ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} {\displaystyle \Re (z)}nebo Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re}. (z)}{\displaystyle \operatorname {Re} (z)} pro reálnou část komplexního čísla z {\displaystyle z}{\displaystyle z} . Pokud tedy z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}{\displaystyle z=a+bi} , píšeme a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re}. (z)}{\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)} . Podobně píšeme ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)}{\displaystyle \Im (z)} nebo Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im}}. (z)}{\displaystyle \operatorname {Im} (z)} pro imaginární část komplexního čísla z {\displaystyle z}{\displaystyle z} ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)} {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)}, pro stejné z. Každé reálné číslo je také komplexní číslo; je to komplexní číslo z s ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0}{\displaystyle \Im (z)=0} .

Komplexní číslo lze také zapsat jako uspořádanou dvojici (a, b). Obě čísla a a b jsou reálná čísla. Každé reálné číslo lze jednoduše zapsat jako a + 0 ⋅ i {\displayystyle a+0\cdot i} {\displaystyle a+0\cdot i}nebo jako dvojici (a, 0).

Někdy se místo i {\displaystyle i} píše j {\displaystyle j}{\displaystyle j} {\displaystyle i}. V elektrotechnice znamená i {\displaystyle i}{\displaystyle i} elektrický proud. Psaní i {\displaystyle i} {\displaystyle i}může způsobit mnoho problémů, protože některá čísla v elektrotechnice jsou složená čísla.

Množina všech komplexních čísel se obvykle zapisuje jako C {\displaystyle \mathbb {C} } {\displaystyle \mathbb {C} }.