Pythagorova věta

Důkaz

Jeden z důkazů Pythagorovy věty nalezl řecký matematik Eudoxos z Knidu.

Důkaz se opírá o tři lemmata:

1. Trojúhelníky se stejnou základnou a výškou mají stejnou plochu.
2. Trojúhelník, který má stejnou základnu a výšku jako strana čtverce, má stejnou plochu jako polovina čtverce.
3. Trojúhelníky se dvěma shodnými stranami a jedním shodným úhlem jsou shodné a mají stejný obsah.

Důkazem je:

1. Modrý trojúhelník má stejnou plochu jako zelený trojúhelník, protože má stejnou základnu i výšku (lemma 1).
2. Zelený i červený trojúhelník mají dvě strany rovné stranám stejných čtverců a úhel rovný přímce (úhel 90 stupňů) plus úhel trojúhelníku, takže jsou shodné a mají stejný obsah (lemma 3).
3. Plochy červeného a žlutého trojúhelníku jsou stejné, protože mají stejnou výšku i základnu (lemma 1).
4. Plocha modrého trojúhelníku se rovná ploše žlutého trojúhelníku, protože

A b l u e = A g r e e e n = A r e d = A y e l l o w {\displaystyle {\color {blue}A_{blue}}={\color {green}A_{green}}={\color {red}A_{red}}={\color {yellow}A_{yellow}}}.

1. Hnědé trojúhelníky mají ze stejných důvodů stejnou plochu.
2. Modrá a hnědá barva mají každá polovinu plochy menšího čtverce. Součet jejich ploch se rovná polovině plochy většího čtverce. Z tohoto důvodu jsou poloviny ploch malých čtverců stejné jako polovina plochy většího čtverce, takže jejich plochy jsou stejné jako plochy většího čtverce.

Důkaz pomocí podobných trojúhelníků

Další důkaz Pythagorovy věty můžeme získat pomocí podobných trojúhelníků.

d a = a c ⇒ d = a 2 c ( 1 ) {\displaystyle {\frac {d}{a}}={\frac {a}{c}}\quad \Rightarrow \quad d={\frac {a^{2}}{c}}\quad (1)}

e/b = b/c => e = b^2/c (2)

Z obrázku víme, že c = d + e {\displaystyle c=d+e\,\! } . A nahrazením rovnic (1) a (2):

c = a 2 c + b 2 c {\displaystyle c={\frac {a^{2}}{c}}+{\frac {b^{2}}{c}}}}

Násobení písmenem c:

c 2 = a 2 + b 2 . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!. }

Pythagorovy trojice

Pythagorovy trojice neboli triplety jsou tři celá čísla, která odpovídají rovnici a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}. .

Známým příkladem je trojúhelník o stranách 3, 4 a 5. Jestliže a=3 a b=4, pak 3 2 + 4 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}, protože 9 + 16 = 25 {\displaystyle 9+16=25} . To lze také zobrazit jako 3 2 + 4 2 = 5. {\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}}=5.}

Trojúhelník tři-čtyři-pět funguje pro všechny násobky 3, 4 a 5. Jinými slovy, čísla jako 6, 8, 10 nebo 30, 40 a 50 jsou také pythagorejskými trojicemi. Dalším příkladem trojúhelníku je trojúhelník 12-5-13, protože 12 2 + 5 2 = 13 {\displaystyle {\sqrt {12^{2}+5^{2}}}=13} .

Pythagorova trojice, která není násobkem jiných trojic, se nazývá primitivní pythagorovská trojice. Každou primitivní pythagorovskou trojici lze najít pomocí výrazu ( 2 m n , m 2 - n 2 , m 2 + n 2 ) {\displaystyle (2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})}. , ale musí být splněny následující podmínky. Ty kladou omezení na hodnoty m {\displaystyle m} a n {\displaystyle n} .

1. m {\displaystyle m} a n {\displaystyle n} jsou kladná celá čísla
2. m {\displaystyle m} a n {\displaystyle n} nemají žádné společné činitele kromě 1
3. m {\displaystyle m} a n {\displaystyle n} mají opačnou paritu. m {\displaystyle m} a n {\displaystyle n} mají opačnou paritu, když m {\displaystyle m} je sudé a n {\displaystyle n} je liché, nebo m {\displaystyle m} je liché a n {\displaystyle n} je sudé.
4. m > n {\displaystyle m>n} .

Jsou-li splněny všechny čtyři podmínky, pak hodnoty m {\displaystyle m} a n {\displaystyle n} tvoří primitivní pythagorejskou trojici.

m = 2 {\displaystyle m=2} a n = 1 {\displaystyle n=1} tvoří primitivní pythagorovskou trojici. Hodnoty splňují všechny čtyři podmínky. 2 m n = 2 × 2 × 1 = 4 {\displaystyle 2mn=2\krát 2\krát 1=4}. , m 2 - n 2 = 2 2 - 1 2 = 4 - 1 = 3 {\displaystyle m^{2}-n^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3} a m 2 + n 2 = 2 2 + 1 2 = 4 + 1 = 5 {\displaystyle m^{2}+n^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5}. , takže vznikne trojice ( 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle (3,4,5)}.