Shodnost v geometrii (kongruence): definice a příklady
Shodnost v geometrii: jasná definice kongruence, izometrie i názorné příklady shodných útvarů, které vám pomohou rychle pochopit téma.
V geometrii jsou dva obrazce nebo objekty shodné, pokud mají stejný tvar i velikost. Shodnost tedy znamená, že se útvary mohou přesně překrýt bez jakéhokoli natahování, zmenšování nebo deformace. Stejně tak platí, že útvar může být shodný se svým zrcadlový obraz, pokud dovolíme i převrácení podle přímky nebo roviny.
Formálněji řečeno, dvě množiny bodů se nazývají kongruentní tehdy a jen tehdy, když lze jednu z nich transformovat na druhou izometrií. Izometrie je zobrazení, které zachovává vzdálenosti mezi body, a tím pádem i délky stran, velikosti úhlů a celkový tvar útvaru.
Galerie obrázků
1 Obrázek
Co je izometrie
Pro izometrii se používají tuhé pohyby, protože se při nich obrazec „neprotahuje“ ani „nesmršťuje“. Patří sem zejména:
- posunutí,
- otočení,
- osová souměrnost,
- středová souměrnost.
To znamená, že jeden objekt lze přemístit a případně i odrazit, ale nelze změnit jeho velikost. Když dva útvary na papíře vystřihnete a pootočíte, posunete nebo překlopíte, jsou shodné tehdy, když na sebe přesně navzájem pasují.
Jak poznat shodné útvary
Dva geometrické útvary jsou shodné, pokud je lze přesně ztotožnit pomocí vhodného pohybu. V praxi to znamená, že mají stejnou délku odpovídajících stran, stejné velikosti odpovídajících úhlů a stejný obsah i obvod, pokud jde o rovinné útvary.
Pokud jeden z objektů musí změnit svou velikost, aby se shodoval s druhým, nejsou oba objekty kongruentní. V takovém případě mluvíme pouze o podobné útvarych, které mají stejný tvar, ale ne nutně stejnou velikost.
Obrácení papíru je při posuzování shodnosti povoleno. Proto může být například levá a pravá rukavice shodná, i když nejsou stejně orientované v prostoru.
Příklady shodnosti
- Dvě stejně velké kružnice jsou shodné, protože mají stejný poloměr.
- Dva čtverce jsou shodné, mají-li stejnou délku strany, i když je jeden pootočený.
- Dva trojúhelníky jsou shodné, pokud se po vhodném posunutí nebo otočení přesně překryjí.
- Dvě stejné mince nebo dvě stejné dlaždice mají v rovině shodný tvar i velikost.
- V prostoru mohou být shodné například dvě stejné krychle, koule nebo válce.
Shodné mnohoúhelníky
Shodné mnohoúhelníky mají stejné délky všech odpovídajících stran a stejné velikosti všech odpovídajících úhlů. To znamená, že například dva čtyřúhelníky mohou být shodné i tehdy, když je jeden otočený nebo zrcadlově převrácený.
U mnohoúhelníků se shodnost často ověřuje porovnáním vrcholů v odpovídajícím pořadí. Jakmile se liší jediná délka strany nebo jediný úhel, útvary už shodné nejsou.
Shodnost trojúhelníků
U trojúhelníků se shodnost velmi často určuje pomocí několika známých kritérií. Nejznámější jsou:
- strana–strana–strana (SSS),
- strana–úhel–strana (SÚS),
- úhel–strana–úhel (USU).
Jestliže jsou v těchto případech splněny podmínky shodnosti, lze jeden trojúhelník přesně položit na druhý. To je důležité například při konstrukcích, důkazech v geometrii i při měření v technické praxi.
Rozdíl mezi shodností a podobností
Shodnost a podobnost se často zaměňují, ale nejsou totéž. Shodné útvary mají nejen stejný tvar, ale i stejnou velikost. Podobné útvary mají stejný tvar, ale mohou být různě velké.
Například dva stejné trojúhelníky jsou shodné. Pokud je však jeden z nich dvakrát větší než druhý, jsou pouze podobné. Podobnost tedy dovoluje změnu měřítka, zatímco shodnost nikoli.
Proč je shodnost důležitá
Shodnost je základní pojem v geometrii a používá se při rýsování, konstrukci obrazců, dokazování vlastností útvarů i v každodenní praxi. Pomáhá určit, zda jsou dva útvary skutečně stejné, nebo jen na první pohled podobné.
Ve stavebnictví, technickém kreslení nebo výrobě součástek je shodnost důležitá proto, že zaručuje přesnost. Pokud mají dvě součásti být shodné, musí odpovídat ve všech rozměrech i tvarech.
Příklady
- všechny čtverce, jejichž strany mají stejnou délku, jsou shodné.
- všechny rovnostranné trojúhelníky se stejnou délkou stran jsou shodné.
Testy shody
- Dva úhly a strana mezi nimi jsou ve dvou trojúhelnících stejné (ASA kongruence)
- Dva úhly a strana, která není mezi nimi, jsou v obou trojúhelnících stejné (shodnost AAS)
- Všechny tři strany obou trojúhelníků jsou stejné (SSS kongruence)
- dvě strany a úhel mezi nimi tvoří 2 shodné trojúhelníky (SAS kongruence)
Jak můžeme získat nové shodné útvary?
Máme poměrně dost možností, několik pravidel, jak vytvořit nové tvary shodné s původními.
- Posuneme-li geomterický útvar v rovině, dostaneme útvar, který je kongruentní s původním.
- Pokud místo posunování otáčíme, získáme také tvar shodný s původním.
- I když vezmeme zrcadlový obraz původního tvaru, stále dostaneme shodný tvar.
- Pokud tyto tři činnosti spojíme jednu po druhé, dostaneme stále shodné tvary.
- Žádné další shodné tvary již neexistují. Přesněji řečeno to znamená, že pokud je nějaký tvar kongruentní s původním, pak ho lze dosáhnout třemi výše popsanými činnostmi.
Vztah, že tvar je kongruentní s jiným tvarem, má tři známé vlastnosti.
- Pokud ponecháme původní tvar na jeho původním místě, pak je kongruentní sám se sebou. Toto chování, tato vlastnost se nazývá reflexivita.
Například pokud výše uvedený posun není řádným posunem, ale pouze posunem, který vytváří pohyb o délce nula. Nebo podobně, pokud výše uvedená rotace není řádnou rotací, ale pouze rotací o úhel nula.
- Pokud je tvar kongruentní s jiným tvarem, pak je tento jiný tvar také kongruentní s původním tvarem. Toto chování, tato vlastnost se nazývá symetrie.
Pokud například posuneme zpět, otočíme zpět nebo zrcadlově otočíme nový tvar k původnímu, pak je původní tvar kongruentní s novým.
- Pokud je tvar C kongruentní s tvarem B a tvar B je kongruentní s původním tvarem A, pak je tvar C také kongruentní s původním tvarem A. Toto chování, tato vlastnost se nazývá tranzitivita.
Pokud například nejprve použijeme posun a poté rotaci, pak je výsledný nový tvar stále shodný s původním.
Známé tři vlastnosti, reflexivita, symetrie a tranzitivita, tvoří dohromady pojem ekvivalence. Z toho vyplývá, že vlastnost kongruence je jedním z druhů vztahu ekvivalence mezi tvary roviny.
Otázky a odpovědi
Otázka: Co v geometrii znamená, když jsou dva obrazce shodné?
Odpověď: Dva obrazce jsou v geometrii shodné, pokud mají stejný tvar a velikost nebo pokud má jeden z nich stejný tvar a velikost jako zrcadlový obraz druhého.
Otázka: Jak se dvě množiny bodů nazývají shodné?
Odpověď: Dvě množiny bodů se nazývají kongruentní tehdy a jen tehdy, když lze jednu z nich převést na druhou izometrií.
Otázka: K čemu se v izometrii používají tuhé pohyby?
Odpověď: Tuhé pohyby se v izometrii používají ke změně polohy, otáčení nebo odrážení geometrických útvarů bez změny jejich velikosti tak, aby se přesně shodovaly s jinými objekty.
Otázka: Mohou být dva útvary shodné, když jeden z nich musí změnit svou velikost, aby se shodoval s druhým?
Odpověď: Ne, pokud jeden z objektů musí změnit svou velikost, aby se shodoval s druhým, pak tyto dva objekty nejsou kongruentní, ale nazývají se podobné.
Otázka: Co můžeme říci o shodnosti dvou různých rovinných obrazců na papíře?
Odpověď: Dva různé rovinné útvary na kusu papíru jsou shodné, pokud je můžeme vystřihnout a pak je úplně srovnat a v případě potřeby papír otočit.
Otázka: Co jsou kongruentní mnohoúhelníky?
Odpověď: Kongruentní mnohoúhelníky jsou takové, které lze přeložit na polovinu a vytvořit tak jiný pravidelný mnohoúhelník, který je také kongruentní.
Otázka: Jaké je kritérium pro to, aby dva objekty mohly být v geometrii označeny za shodné?
Odpověď: Kritériem pro označení dvou objektů za shodné v geometrii je, že jeden objekt lze přemístit, otočit nebo odrazit tak, aby se přesně shodoval s druhým objektem, aniž by se změnila jeho velikost.
Související články
Autor
AlegsaOnline.com Shodnost v geometrii (kongruence): definice a příklady Leandro Alegsa
URL: https://cs.alegsaonline.com/art/22523
Zdroje
- web.cortland.edu : "Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Congruent Figures"