Kongruence
V geometrii jsou dva obrazce nebo objekty shodné, pokud mají stejný tvar a velikost. Také pokud má jeden z nich stejný tvar a velikost jako zrcadlový obraz druhého.
Formálněji řečeno, dvě množiny bodů se nazývají kongruentní tehdy a jen tehdy, když lze jednu z nich transformovat na druhou izometrií. Pro izometrii se používají tuhé pohyby.
To znamená, že jeden objekt lze přemístit a odrazit (nikoli však změnit jeho velikost) tak, aby se přesně shodoval s druhým objektem. Dva různé rovinné útvary na papíře jsou tedy shodné, pokud je můžeme vystřihnout a poté zcela srovnat. Obracení papíru je povoleno.
Shodné mnohoúhelníky jsou mnohoúhelníky, které když přeložíte pravidelný mnohoúhelník na polovinu, je to shodný mnohoúhelník.
Dva geometrické útvary jsou shodné, pokud lze jeden z nich posunout nebo otočit tak, aby přesně zapadl do místa, kde se nachází druhý. Pokud jeden z objektů musí změnit svou velikost, nejsou oba objekty kongruentní: nazývají se pouze podobné.
Pokud jsou dva obrazce nebo předměty shodné, mají stejný tvar a velikost; lze je však otáčet, posouvat, zrcadlově zobrazovat (odrážet) nebo překládat tak, aby přesně zapadly na místo, kde je ten druhý.
Příklad kongruence. Dva trojúhelníky vlevo jsou kongruentní a třetí je jim podobný. Poslední trojúhelník není podobný ani kongruentní s žádným z ostatních. Všimněte si, že kongruence umožňuje měnit některé vlastnosti, například polohu a orientaci, ale jiné, například vzdálenost a úhly, ponechává beze změny. Nezměněné vlastnosti se nazývají invarianty.
Příklady
- všechny čtverce, jejichž strany mají stejnou délku, jsou shodné.
- všechny rovnostranné trojúhelníky se stejnou délkou stran jsou shodné.
Testy shody
- Dva úhly a strana mezi nimi jsou ve dvou trojúhelnících stejné (ASA kongruence)
- Dva úhly a strana, která není mezi nimi, jsou v obou trojúhelnících stejné (shodnost AAS)
- Všechny tři strany obou trojúhelníků jsou stejné (SSS kongruence)
- dvě strany a úhel mezi nimi tvoří 2 shodné trojúhelníky (SAS kongruence)
Jak můžeme získat nové shodné útvary?
Máme poměrně dost možností, několik pravidel, jak vytvořit nové tvary shodné s původními.
- Posuneme-li geomterický útvar v rovině, dostaneme útvar, který je kongruentní s původním.
- Pokud místo posunování otáčíme, získáme také tvar shodný s původním.
- I když vezmeme zrcadlový obraz původního tvaru, stále dostaneme shodný tvar.
- Pokud tyto tři činnosti spojíme jednu po druhé, dostaneme stále shodné tvary.
- Žádné další shodné tvary již neexistují. Přesněji řečeno to znamená, že pokud je nějaký tvar kongruentní s původním, pak ho lze dosáhnout třemi výše popsanými činnostmi.
Vztah, že tvar je kongruentní s jiným tvarem, má tři známé vlastnosti.
- Pokud ponecháme původní tvar na jeho původním místě, pak je kongruentní sám se sebou. Toto chování, tato vlastnost se nazývá reflexivita.
Například pokud výše uvedený posun není řádným posunem, ale pouze posunem, který vytváří pohyb o délce nula. Nebo podobně, pokud výše uvedená rotace není řádnou rotací, ale pouze rotací o úhel nula.
- Pokud je tvar kongruentní s jiným tvarem, pak je tento jiný tvar také kongruentní s původním tvarem. Toto chování, tato vlastnost se nazývá symetrie.
Pokud například posuneme zpět, otočíme zpět nebo zrcadlově otočíme nový tvar k původnímu, pak je původní tvar kongruentní s novým.
- Pokud je tvar C kongruentní s tvarem B a tvar B je kongruentní s původním tvarem A, pak je tvar C také kongruentní s původním tvarem A. Toto chování, tato vlastnost se nazývá tranzitivita.
Pokud například nejprve použijeme posun a poté rotaci, pak je výsledný nový tvar stále shodný s původním.
Známé tři vlastnosti, reflexivita, symetrie a tranzitivita, tvoří dohromady pojem ekvivalence. Z toho vyplývá, že vlastnost kongruence je jedním z druhů vztahu ekvivalence mezi tvary roviny.
Otázky a odpovědi
Otázka: Co v geometrii znamená, když jsou dva obrazce shodné?
Odpověď: Dva obrazce jsou v geometrii shodné, pokud mají stejný tvar a velikost nebo pokud má jeden z nich stejný tvar a velikost jako zrcadlový obraz druhého.
Otázka: Jak se dvě množiny bodů nazývají shodné?
Odpověď: Dvě množiny bodů se nazývají kongruentní tehdy a jen tehdy, když lze jednu z nich převést na druhou izometrií.
Otázka: K čemu se v izometrii používají tuhé pohyby?
Odpověď: Tuhé pohyby se v izometrii používají ke změně polohy, otáčení nebo odrážení geometrických útvarů bez změny jejich velikosti tak, aby se přesně shodovaly s jinými objekty.
Otázka: Mohou být dva útvary shodné, když jeden z nich musí změnit svou velikost, aby se shodoval s druhým?
Odpověď: Ne, pokud jeden z objektů musí změnit svou velikost, aby se shodoval s druhým, pak tyto dva objekty nejsou kongruentní, ale nazývají se podobné.
Otázka: Co můžeme říci o shodnosti dvou různých rovinných obrazců na papíře?
Odpověď: Dva různé rovinné útvary na kusu papíru jsou shodné, pokud je můžeme vystřihnout a pak je úplně srovnat a v případě potřeby papír otočit.
Otázka: Co jsou kongruentní mnohoúhelníky?
Odpověď: Kongruentní mnohoúhelníky jsou takové, které lze přeložit na polovinu a vytvořit tak jiný pravidelný mnohoúhelník, který je také kongruentní.
Otázka: Jaké je kritérium pro to, aby dva objekty mohly být v geometrii označeny za shodné?
Odpověď: Kritériem pro označení dvou objektů za shodné v geometrii je, že jeden objekt lze přemístit, otočit nebo odrazit tak, aby se přesně shodoval s druhým objektem, aniž by se změnila jeho velikost.
