Trigonometrická funkce

Trigonometrické funkce se někdy nazývají také kruhové funkce. Jsou to funkce úhlu, které jsou důležité mimo jiné při studiu trojúhelníků. Trigonometrické funkce se běžně definují jako poměry dvou stran pravoúhlého trojúhelníku obsahujícího daný úhel, ekvivalentně je lze definovat jako délky různých úseček z jednotkové kružnice (kružnice, která má poloměr jedna).

Definice pravoúhlého trojúhelníku

Chcete-li definovat trigonometrické funkce pro úhel A, začněte s pravoúhlým trojúhelníkem, který obsahuje úhel A:

Pro strany trojúhelníku používáme následující názvy:

• Přepona je strana protilehlá pravému úhlu nebo definovaná jako nejdelší strana pravoúhlého trojúhelníku, v tomto případě h.
• Protilehlá strana je strana opačná k úhlu, který nás zajímá, v tomto případě a.
• Přilehlá strana je strana, která se dotýká úhlu, který nás zajímá, a pravý úhel, odtud její název. V tomto případě je sousední stranou strana b.

Všechny trojúhelníky jsou v euklidovské geometrii chápány tak, že součet vnitřních úhlů každého trojúhelníku je π radiánů (neboli 180°); pro pravoúhlý trojúhelník jsou tedy dva nepravoúhlé úhly v rozmezí nula až π/2 radiánů. Čtenář by si měl uvědomit, že následující definice striktně vzato definují trigonometrické funkce pouze pro úhly v tomto rozsahu. Rozšíříme je na celou množinu reálných argumentů pomocí jednotkové kružnice nebo požadavkem určitých symetrií a požadavkem, aby šlo o periodické funkce.

1) Sinus úhlu je poměr délky protější strany k délce přepony. V našem případě

sin A = protilehlá přepona = a h . {\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {opozitní}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {a}{h}}. }

Všimněte si, že tento poměr nezávisí na konkrétním zvoleném pravoúhlém trojúhelníku, pokud obsahuje úhel A, protože všechny tyto trojúhelníky jsou si podobné.

Množina nul sinusu (tj. hodnot x {\displaystyle x} , pro které je sin x = 0 {\displaystyle \sin x=0} ) je

{ n π | n ∈ Z } . {\displaystyle \levice\{n\pi {\big |}n\in \mathbb {Z} \vpravo\}. }

2) Kosinus úhlu je poměr délky přilehlé strany k délce přepony. V našem případě

cos A = sousední přepona = b h . {\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {přilehlá}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {b}{h}}. }

Množina nul kosinu je

{ π 2 + n π | n ∈ Z } . {\displaystyle \levice\{{\frac {\pi }{2}}+n\pi {\bigg |}n\in \mathbb {Z} \vpravo\}. }

3) Tangens úhlu je poměr délky protější strany k délce strany sousední. V našem případě

tan A = opačný sousední = a b . {\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {a}{b}}. }

Množina nul tečny je

{ n π | n ∈ Z } . {\displaystyle \levice\{n\pi {\big |}n\in \mathbb {Z} \vpravo\}. }

Stejná množina funkce sinus od

tan A = sin A cos A . {\displaystyle \tan A={\frac {\sin A}{\cos A}}. }

Zbývající tři funkce lze nejlépe definovat pomocí výše uvedených tří funkcí.

4) Kosekant csc(A) je multiplikativní inverzní hodnota sin(A), tj. poměr délky přepony k délce protější strany:

csc A = hypotenuse opposite = h a {\displaystyle \csc A={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {opposite}}}={\frac {h}{a}}} .

5) Sekant sec(A) je multiplikativní inverzní hodnota cos(A), tj. poměr délky přepony k délce sousední strany:

sec A = hypotenuse adjacent = h b {\displaystyle \sec A={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {h}{b}}} .

6) Kotangens cot(A) je multiplikativní inverzní hodnota tan(A), tj. poměr délky sousední strany k délce strany protilehlé:

cot A = sousední opačný = b a {\displaystyle \cot A={\frac {\textrm {sousední}}{\textrm {opačný}}}={\frac {b}{a}}} .

Definice pomocí mocninných řad

Trigonometrické funkce lze definovat také pomocí mocninných řad:

sin x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}

cos x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - x 6 6 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}

a definujte tečnu, kotangens, sekant a kosekant pomocí identit, viz níže.

Některé důležité identity:

tan x = sin x cos x {\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}}

cot x = cos x sin x {\displaystyle \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}}}

sec x = 1 cos x {\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}}

csc x = 1 sin x {\displaystyle \csc x={\frac {1}{\sin x}}}

sin 2 x + cos 2 x = 1 {\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}

sin 2 x = 2 sin x cos x {\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x}

cos 2 x = cos x cos x - sin x sin x = cos 2 x - sin 2 x = 2 cos 2 x - 1 = 1 - 2 sin 2 x {\displaystyle \cos 2x=\cos x\cos x-\sin x\sin x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x}

tan 2 x = 2 tan x 1 - tan 2 x {\displaystyle \tan 2x={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}}

sin ( x ± y ) = sin x cos y ± cos x sin y {\displaystyle \sin \left(x\pm y\right)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y}

cos ( x ± y ) = cos x cos y ∓ sin x sin y {\displaystyle \cos \left(x\pm y\right)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y}

tan ( x ± y ) = tan x ± tan y 1 ∓ tan x tan y {\displaystyle \tan \left(x\pm y\right)={\frac {\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}}}  

Hyperbolické funkce mají velmi podobné vlastnosti jako trigonometrické funkce. Jsou definovány pomocí exponenciální funkce, která vychází z konstanty e.

• Hyperbolický sinus:

sinh x = e x - e - x 2 = e 2 x - 1 2 e x = 1 - e - 2 x 2 e - x . {\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}. }

• Hyperbolický kosinus:

cosh x = e x + e - x 2 = e 2 x + 1 2 e x = 1 + e - 2 x 2 e - x . {\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}. }

• Hyperbolický tangens:

tanh x = sinh x cosh x = e x - e - x e x + e - x = e 2 x - 1 e 2 x + 1 = 1 - e - 2 x 1 + e - 2 x . {\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}={\frac {1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}. }

• Hyperbolický kotangens:

coth x = cosh x sinh x = e x + e - x e x - e - x = e 2 x + 1 e 2 x - 1 = 1 + e - 2 x 1 - e - 2 x , x ≠ 0. {\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}={\frac {1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}},\qquad x\neq 0.}

• Hyperbolický sekant:

sech x = 1 cosh x = 2 e x + e - x = 2 e x e 2 x + 1 = 2 e - x 1 + e - 2 x . {\displaystyle \operatorname {sech} \,x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}={\frac {2e^{-x}}{1+e^{-2x}}}. }

• Hyperbolický kosekant:

csch x = 1 sinh x = 2 e x - e - x = 2 e x e 2 x - 1 = 2 e - x 1 - e - 2 x , x ≠ 0. {\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}={\frac {2e^{-x}}{1-e^{-2x}}},\qquad x\neq 0.}  

• Pythagorova věta
• Trigonometrie