Eukleidovská geometrie

Autor: Leandro Alegsa Datum vytvoření: 18. ledna 2022

Euklidovská geometrie je systém v matematice. Lidé se domnívají, že ji jako první popsal Euklides, a proto nese jeho jméno. Poprvé ji popsal ve své učebnici Elements. Tato kniha byla prvním systematickým pojednáním o geometrii, jak byla v té době známa. V knize Euklides nejprve předpokládá několik axiomů. Ty tvoří základ pozdější práce. Jsou intuitivně jasné. Z těchto axiomů lze dokázat další věty.

V 19. století se objevily další formy geometrie. Jedná se o neeuklidovskou geometrii. Takovou geometrii vytvořili Carl Friedrich Gauss, János Bolyai a Nikolaj Ivanovič Lobačevskij. Ty velmi často nepoužívají paralelní postulát, ale ostatní čtyři axiomy.

Axiomy

Euklides vychází z následujících předpokladů. Jedná se o axiomy, které není třeba dokazovat.

Jakékoli dva body lze spojit přímkou.
Jakoukoli úsečku přímky lze prodloužit (prodloužit) do nekonečna, takže se z ní stane přímka.
Pomocí úsečky lze nakreslit kružnici tak, aby jeden koncový bod úsečky byl středem kružnice a druhý koncový bod ležel na kružnici. Úsečka se stane poloměrem kružnice.
Všechny pravé úhly jsou shodné
Paralelní postulát. Pokud dvě přímky protínají třetí tak, že součet vnitřních úhlů na jedné straně je menší než dva pravé úhly, pak se obě přímky musí na této straně nevyhnutelně protínat, pokud jsou dostatečně prodlouženy.

Stav

Euklidovská geometrie je teorie prvního řádu. S její pomocí lze vyslovit a dokázat tvrzení typu Pro všechny trojúhelníky.... Výroky typu Pro všechny množiny trojúhelníků... jsou mimo rámec této teorie.

Otázky a odpovědi

Otázka: Co je to euklidovská geometrie?

A: Euklidovská geometrie je systém v matematice, který poprvé popsal Euklides ve své učebnici Elements. Skládá se z několika axiomů, které tvoří základ pro pozdější práci, a z těchto axiomů lze dokázat další věty.

Otázka: Kdo napsal knihu Elementy?

Odpověď: Euklides napsal knihu Elementy, která byla prvním systematickým pojednáním o geometrii, jak byla v té době známa.

Otázka: Jaké jsou příklady neeuklidovské geometrie?

Odpověď: Neeuklidovské geometrie vytvořili v 19. století Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai a Nikolaj Ivanovič Lobačevskij. Ty často nepoužívají paralelní postulát, ale spoléhají se na ostatní čtyři axiomy.

Otázka: O čem pojednává článek Elements?

Odpověď: Elementy pojednávají o geometrii, jak byla v té době známa, a poskytují její systematickou diskusi.

Otázka: Kolik axiomů má euklidovská geometrie?

Odpověď: Euklidovská geometrie má několik axiomů, které tvoří její základ pro pozdější práci.

Otázka: Kdo vytvořil neeuklidovskou geometrii?

Odpověď: Neeuklidovskou geometrii vyvinuli v 19. století Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai a Nikolaj Ivanovič Lobačevskij.

Otázka: Používá neeuklidovská geometrie všech pět axiomů, nebo jen čtyři?

Odpověď: Neeuklidovská geometrie často nepoužívá postulát o rovnoběžkách, ale spoléhá se pouze na čtyři ze svých pěti axiomů.