Pátý Euklidův postulát – definice paralelního postulátu v geometrii
Objevte Pátý Euklidův postulát: jasné vysvětlení paralelního postulátu, jeho důsledky a přechod k neeuklidovské geometrii.
V geometrii je paralelní postulát jedním z axiomů euklidovské geometrie. Někdy se mu také říká pátý Euklidův postulát, protože je pátým postulátem v Euklidových Elementech.
Postulát říká, že:
Pokud úsečku protnete dvěma přímkami a oba vnitřní úhly, které tyto přímky svírají, jsou menší než 180°, pak se obě přímky nakonec setkají, pokud je dostatečně prodloužíte.
Obor geometrie, který se řídí všemi Euklidovými axiomy, se nazývá euklidovská geometrie. Geometrie, která se neřídí všemi Euklidovými axiomy, se nazývá neeuklidovská geometrie.
Co postulát vlastně znamená
Pátý postulát formuluje chování přímek v rovině vůči relativnímu vztahu "paralelnosti". Prakticky říká, že dvě přímky, které nejsou rovnoběžné, se při dostatečném prodloužení protínají. V běžné euklidovské rovině z toho vyplývá, že pro danou přímku a bod mimo ni existuje právě jedna přímka procházející tímto bodem, která je s první přímkou rovnoběžná.
Různé ekvivalentní formulace
- Playfairův axiom: „Pro danou přímku a bod mimo ni existuje právě jedna přímka, která prochází tímto bodem a je s danou přímkou rovnoběžná.“ — tato formulace je logicky ekvivalentní Euklidovu postulátu.
- Součet úhlů v trojúhelníku: V euklidovské geometrii je součet vnitřních úhlů trojúhelníku roven 180°; tato vlastnost je také ekvivalentní pátému postulátu.
- Podobnost trojúhelníků, vlastnosti rovnoběžek a další tvrzení zmíněná v geometrii jsou navzájem s postulátem ekvivalentní.
Dějiny a pokusy o důkaz
Po staletí se matematici snažili ukázat, že pátý postulát lze odvodit z ostatních Euklidových axiomů. Pokusy pokračovaly od antiky přes středověk až do 18. a začátku 19. století, ale všechny snahy o „důkaz“ byly marné — místo toho vedly k objevu konzistentních alternativních geometrií.
Ve 19. století nezávisle na sobě vytvořili Nikolaj I. Lobachevskij a János Bolyai hyperbolickou (tzv. neevklidovskou) geometrii, kde pro danou přímku a bod existuje více než jedna rovnoběžka. Carl Friedrich Gauss před nimi o těchto možnostech uvažoval, ale výsledky nepublikoval. Později Bernhard Riemann formuloval eliptickou geometrii (kde žádné „rovnoběžky“ neexistují).
Neeukleidovské geometrie a jejich důsledky
Významným důsledkem nezávislosti pátého postulátu je vznik dvou základních typů neeuklidovských geometrií:
- Hyperbolická geometrie: přes bod mimo přímku vede více než jedna přímka, která s ní není protíná; součet úhlů v trojúhelníku je menší než 180°; plocha trojúhelníku je úměrná tzv. úhlovému defektu (rozdíl 180° minus součet úhlů).
- Eliptická (Riemannova) geometrie: každé dvě „přímky“ (geodetiky) se protínají, tedy neexistují rovnoběžky; součet úhlů v trojúhelníku je větší než 180°.
Konzistence a modely
Důležitým krokem bylo ukázat, že neeuklidovské geometrie jsou konzistentní za předpokladu, že jsou konzistentní základní (např. aritmetické nebo euklidovské) axiomy. To se demonstrovalo konstrukcí modelů:
- Beltramiho, Kleinův a Poincarého model pro hyperbolickou geometrii — tyto modely vkládají hyperbolickou geometrii do euklidovské roviny nebo prostoru tak, že hyperbolické „přímky“ odpovídají křivkám/euklidovským obloukům; tím se ukáže, že pokud je euklidovská geometrie konzistentní, pak je konzistentní i hyperbolická.
- Podobné konstrukce lze použít i pro eliptickou geometrii, která se často interpretuje jako geometrie na ploše koule s geodetikami jako velkými kružnicemi.
Praktické a filozofické důsledky
Paralelní postulát není jen technická záležitost: jeho nezávislost ukázala, že axiomatický systém může mít alternativní, stejně konzistentní verze. To mělo hluboký vliv na rozvoj matematiky, logiky a filozofie — vedlo k formalizaci axiomatiky a k důrazu na konstrukci modelů a relativní konzistenci teorií.
Stručné shrnutí
- Pátý Euklidův postulát určuje chování rovnoběžek a je jedním z fundamentálních axiomů euklidovské geometrie.
- Existují mnohé ekvivalentní formulace (např. Playfairův axiom, součet úhlů v trojúhelníku).
- Pokusy o jeho odvození z ostatních axiomů selhaly a vedly k objevu konzistentních neeuklidovských geometrií (hyperbolické a eliptické).
- Konstrukce modelů ukázaly relativní konzistenci těchto geometrií vůči euklidovské geometrii.
Je-li součet vnitřních úhlů α (alfa) a β (beta) menší než 180°, obě přímky se někde protnou, pokud jsou obě prodlouženy do nekonečna.
Historie
Někteří matematici se domnívali, že Euklidův pátý postulát je mnohem delší a složitější než ostatní čtyři postuláty. Mnozí z nich se domnívali, že jej lze dokázat z ostatních jednodušších axiomů. Někteří matematici prohlásili, že tento postulát dokázali z jednodušších postulátů, ale ukázalo se, že se všichni mýlili.
Playfairův axiom
Další novější věta známá jako Playfairův axiom je podobná Euklidovu pátému postulátu. Říká, že:
Je dána přímka a bod, který na této přímce neleží, a tímto bodem lze nakreslit pouze jednu přímku, která se nepotká s druhou přímkou.
Ve skutečnosti matematici zjistili, že tento axiom je nejen podobný Euklidovu pátému postulátu, ale má úplně stejné důsledky. Z matematického hlediska se obě věty nazývají "ekvivalentní" věty. Dnes je Playfairův axiom matematiky používán častěji než původní Euklidův paralelní postulát.
Neeuklidovská geometrie
Nakonec se někteří matematici pokusili vytvořit nové geometrie bez použití axiomu. Jeden z druhů neeuklidovské geometrie se nazývá eliptická geometrie. V eliptické geometrii je paralelní postulát nahrazen axiomem, který říká, že:
Pokud je dána přímka a bod, který na ní neleží, nelze tímto bodem nakreslit přímku, která by nakonec neprotínala druhou přímku.
Matematici zjistili, že když nahradili Euklidův pátý postulát tímto axiomem, byli stále schopni dokázat mnoho dalších Euklidových tvrzení. Jedním ze způsobů, jak si představit eliptickou geometrii, je představit si povrch zeměkoule. Na glóbu se zdá, že přímky zeměpisné délky jsou na rovníku rovnoběžné, ale všechny se setkávají na pólech. Koncem 19. století se ukázalo, že eliptická geometrie je konzistentní. Tím se prokázalo, že Euklidův pátý postulát není nezávislý na ostatních postulátech. Poté se matematici většinou přestali snažit dokázat pátý postulát z ostatních čtyř postulátů. Místo toho mnozí matematici začali studovat jiné geometrie, které se Euklidovým pátým postulátem neřídí.
Další axiom, kterým matematici někdy nahrazují Euklidův pátý axiom, říká, že:
Pokud je dána přímka a bod, který na ní neleží, můžete tímto bodem nakreslit alespoň dvě přímky, které nakonec neprotnou druhou přímku.
Tomu se říká hyperbolická geometrie.
Jiná geometrie pouze odstraňuje Euklidův pátý postulát a ničím ho nenahrazuje. Tato geometrie se nazývá neutrální geometrie nebo absolutní geometrie.
Vyhledávání