V geometrii je paralelní postulát jedním z axiomů euklidovské geometrie. Někdy se mu také říká pátý Euklidův postulát, protože je pátým postulátem v Euklidových Elementech.

Postulát říká, že:

Pokud úsečku protnete dvěma přímkami a oba vnitřní úhly, které tyto přímky svírají, jsou menší než 180°, pak se obě přímky nakonec setkají, pokud je dostatečně prodloužíte.

Obor geometrie, který se řídí všemi Euklidovými axiomy, se nazývá euklidovská geometrie. Geometrie, která se neřídí všemi Euklidovými axiomy, se nazývá neeuklidovská geometrie.

Co postulát vlastně znamená

Pátý postulát formuluje chování přímek v rovině vůči rela­tivnímu vztahu "paralelnosti". Prakticky říká, že dvě přímky, které nejsou rovnoběžné, se při dostatečném prodloužení protínají. V běžné euklidovské rovině z toho vyplývá, že pro danou přímku a bod mimo ni existuje právě jedna přímka procházející tímto bodem, která je s první přímkou rovnoběžná.

Různé ekvivalentní formulace

  • Playfairův axiom: „Pro danou přímku a bod mimo ni existuje právě jedna přímka, která prochází tímto bodem a je s danou přímkou rovnoběžná.“ — tato formulace je logicky ekvivalentní Euklidovu postulátu.
  • Součet úhlů v trojúhelníku: V euklidovské geometrii je součet vnitřních úhlů trojúhelníku roven 180°; tato vlastnost je také ekvivalentní pátému postulátu.
  • Podobnost trojúhelníků, vlastnosti rovnoběžek a další tvrzení zmíněná v geometrii jsou navzájem s postulátem ekvivalentní.

Dějiny a pokusy o důkaz

Po staletí se matematici snažili ukázat, že pátý postulát lze odvodit z ostatních Euklidových axiomů. Pokusy pokračovaly od antiky přes středověk až do 18. a začátku 19. století, ale všechny snahy o „důkaz“ byly marné — místo toho vedly k objevu konzistentních alternativních geometrií.

Ve 19. století nezávisle na sobě vytvořili Nikolaj I. Lobachevskij a János Bolyai hyperbolickou (tzv. neevklidovskou) geometrii, kde pro danou přímku a bod existuje více než jedna rovnoběžka. Carl Friedrich Gauss před nimi o těchto možnostech uvažoval, ale výsledky nepublikoval. Později Bernhard Riemann formuloval eliptickou geometrii (kde žádné „rovnoběžky“ neexistují).

Neeukleidovské geometrie a jejich důsledky

Významným důsledkem nezávislosti pátého postulátu je vznik dvou základních typů neeuklidovských geometrií:

  • Hyperbolická geometrie: přes bod mimo přímku vede více než jedna přímka, která s ní není protíná; součet úhlů v trojúhelníku je menší než 180°; plocha trojúhelníku je úměrná tzv. úhlovému defektu (rozdíl 180° minus součet úhlů).
  • Eliptická (Riemannova) geometrie: každé dvě „přímky“ (geodetiky) se protínají, tedy neexistují rovnoběžky; součet úhlů v trojúhelníku je větší než 180°.

Konzistence a modely

Důležitým krokem bylo ukázat, že neeuklidovské geometrie jsou konzistentní za předpokladu, že jsou konzistentní základní (např. aritmetické nebo euklidovské) axiomy. To se demonstrovalo konstrukcí modelů:

  • Beltramiho, Kleinův a Poincarého model pro hyperbolickou geometrii — tyto modely vkládají hyperbolickou geometrii do euklidovské roviny nebo prostoru tak, že hyperbolické „přímky“ odpovídají křivkám/euklidovským obloukům; tím se ukáže, že pokud je euklidovská geometrie konzistentní, pak je konzistentní i hyperbolická.
  • Podobné konstrukce lze použít i pro eliptickou geometrii, která se často interpretuje jako geometrie na ploše koule s geodetikami jako velkými kružnicemi.

Praktické a filozofické důsledky

Paralelní postulát není jen technická záležitost: jeho nezávislost ukázala, že axiomatický systém může mít alternativní, stejně konzistentní verze. To mělo hluboký vliv na rozvoj matematiky, logiky a filozofie — vedlo k formalizaci axiomatiky a k důrazu na konstrukci modelů a relativní konzistenci teorií.

Stručné shrnutí

  • Pátý Euklidův postulát určuje chování rovnoběžek a je jedním z fundamentálních axiomů euklidovské geometrie.
  • Existují mnohé ekvivalentní formulace (např. Playfairův axiom, součet úhlů v trojúhelníku).
  • Pokusy o jeho odvození z ostatních axiomů selhaly a vedly k objevu konzistentních neeuklidovských geometrií (hyperbolické a eliptické).
  • Konstrukce modelů ukázaly relativní konzistenci těchto geometrií vůči euklidovské geometrii.