Identita (matematika)

Příklady

Vztah identity

Běžným příkladem prvního významu je trigonometrická identita

sin 2 θ + cos 2 θ = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,}

což platí pro všechny reálné hodnoty θ {\displaystyle \theta } (protože reálná čísla R {\displaystyle {\mathbb {R}}} jsou oborem sin a cos), na rozdíl od čísel

cos θ = 1 , {\displaystyle \cos \theta =1,\,}

což platí pouze pro hodnoty θ {\displaystyle \theta } v podmnožině oboru.

Prvek identity

Pojmy "aditivní identita" a "multiplikativní identita" jsou ústředním bodem Peanových axiomů. Číslo 0 je "aditivní identitou" pro celá, reálná a komplexní čísla. Pro reálná čísla platí, že pro všechna a ∈ R , {\displayystyle a\v {\mathbb {R}},}

0 + a = a , {\displaystyle 0+a=a,\,}

a + 0 = a , {\displaystyle a+0=a,\,} a

0 + 0 = 0. {\displaystyle 0+0=0.\,}

Podobně je číslo 1 "multiplikativní identitou" pro celá, reálná a komplexní čísla. Pro reálná čísla platí, že pro všechna a ∈ R , {\displaystyle a\v {\mathbb {R}},}

1 × a = a , {\displaystyle 1\times a=a,\,}

a × 1 = a , {\displaystyle a\times 1=a,\,} a

1 × 1 = 1. {\displaystyle 1\times 1=1.\,}

Funkce identity

Běžným příkladem funkce identity je permutace identity, která posílá každý prvek množiny { 1 , 2 , ... , n }. {\displayystyle \{1,2,\ldots ,n\}} na sebe sama.

Srovnání

Tyto významy se vzájemně nevylučují; například identitní permutace je identitní prvek v množině permutací { 1 , 2 , ... , n }. {\displayystyle \{1,2,\ldots ,n\}} při kompozici.