Další významy tohoto slova viz identita.

V matematice má pojem identita několik důležitých použití:

  • Identita je rovnost, která zůstává pravdivá, i když změníte všechny proměnné, které jsou v této rovnosti použity.

Rovnost v matematickém smyslu je pravdivá pouze za více konkrétních podmínek. Pro tento účel se někdy používá symbol ≡. (To však může vést k nedorozumění, protože stejný symbol lze použít i pro vztah kongruence.)

 

Definice

Matematická identita je rovnost mezi dvěma algebraickými výrazy, která platí pro všechna povolená hodnoty proměnných (tj. pro každé x z definičního oboru). Na rozdíl od běžné rovnice, která může být pravdivá jen pro některé hodnoty proměnných (řešení rovnice), identita je univerzální platností.

Vlastnosti identit

  • Identita platí pro všechny hodnoty proměnných z příslušného oboru.
  • Obvykle lze obě strany identity upravit algebraicky (rozvinout, zkrátit, zjednodušit) tak, aby se navzájem shodovaly.
  • Pokud po přesunu všech členů na jednu stranu dostaneme identicky nulový výraz (např. 0 pro všechny x), máme identitu.
  • Symbolika: někdy se používá znak "≡" pro označení identity; pozor však na možné záměny s označením kongruence v teorii čísel.

Jak identitu ověřit

  • Simplifikací: upravíte obě strany nezávisle a pokud jsou výsledky stejné, identita platí.
  • Přesunutím na jednu stranu: vezmete rozdíl levé a pravé strany a ukážete, že tento rozdíl je identicky nula.
  • Substitucí: při podezření na nepravdivou identitu stačí najít jednu hodnotu proměnné, pro kterou je rovnost nepravdivá (pak to není identita). Naopak náhodné ověření pro několik hodnot není důkazem obecné identity, jen nápovědou.
  • Využitím známých identit: při dokazování nových identit se často používají již osvědčené vzorce (binomická věta, trigonometrické vzorce atd.).

Příklady běžných identit

  • Algebraické:
    • (a + b)^2 ≡ a^2 + 2ab + b^2 (binomický vzorec)
    • a^2 − b^2 ≡ (a − b)(a + b) (rozdíl čtverců)
    • (x − y)^3 ≡ x^3 − 3x^2y + 3xy^2 − y^3
  • Trigonometrické:
    • sin^2 x + cos^2 x ≡ 1 (základní trigonometrická identita)
    • sin(2x) ≡ 2 sin x cos x
    • cos(2x) ≡ cos^2 x − sin^2 x ≡ 2 cos^2 x − 1 ≡ 1 − 2 sin^2 x
  • Logaritmické a exponenciální (platí v definičním oboru):
    • log_a(xy) ≡ log_a x + log_a y
    • a^{x+y} ≡ a^x · a^y

Krátké ukázky ověření

Příklad: dokázat (a+b)^2 ≡ a^2 + 2ab + b^2. Upravíme levou stranu: (a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a(a+b) + b(a+b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2. Obě strany jsou tedy totožné.

Příklad: sin^2 x + cos^2 x ≡ 1 je odvozeno geometricky z jednotkové kružnice nebo algebraicky z Eulerovy formule; je to základní vztah vyjadřující, že pro úhel x součet čtverců sinu a cosinu na jednotkové kružnici je 1.

Rozdíl mezi identitou a rovnicí

Rovnice hledá hodnoty proměnných, pro které je rovnost pravdivá. Identita je pravdivá pro všechny hodnoty proměnných z daného oboru. Proto má rovnice obvykle konečný nebo omezený množinový soubor řešení, zatímco identita je univerzální platností výrazu.

Použití identit

  • Ulehčují úpravy algebraických a trigonometrických výrazů.
  • Slouží při dokazování tvrzení a odvozování nových vzorců.
  • Jsou základem pro numerické a symbolické výpočty (např. v počítačových algebraických systémech).
  • Vyjadřují základní vlastnosti struktur v abstraktní algebře (např. identita v teorii grup nebo rovnosti v kruzích; pozor — zde se může jednat o jiný význam slova identita, viz odkaz výše).

Identita je tedy silný a často používaný nástroj v matematice — od jednoduchých algebraických úprav až po složité důkazy v různých oblastech. Při používání symbolu ≡ mějte na paměti možné kontextové nejasnosti (kongruence vs. identita) a vhodně uveďte, o který vztah jde.