Skládání zobrazení
V matematice je kompozice funkcí způsob, jak vytvořit novou funkci ze dvou jiných funkcí.
Pokud necháme f být funkcí z X do Y a g funkcí z Y do Z, pak říkáme, že g složené s f se zapisuje jako g ∘ f funkce z X do Z (všimněte si, že se obvykle zapisuje opačně, než by lidé očekávali, jak vysvětlíme níže).
Hodnota f daná vstupem x se zapisuje jako f(x). Hodnota g ∘ f daná vstupem x se zapisuje jako (g ∘ f)(x) a je definována jako g(f(x)). (což znamená, že náš způsob zápisu g složený s f dává smysl).
Zde je další příklad. Nechť f je funkce, která zdvojnásobuje číslo (násobí ho dvěma), a nechť g je funkce, která od čísla odečítá 1.
Ty by se zapsaly jako:
f ( x ) = 2 x {\displaystyle f(x)=2x} 
g ( x ) = x - 1 {\displaystyle g(x)=x-1} 
g složená s f by byla funkce, která zdvojnásobí číslo a pak od něj odečte 1:
( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 1 {\displaystyle (g\circ f)(x)=2x-1} 
f složená s g by byla funkce, která od čísla odečte 1 a pak ho zdvojnásobí:
Vlastnosti
Lze dokázat, že složení funkce je asociativní, což znamená:
f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h {\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h} 
Kompozice funkcí však obecně není komutativní, což znamená:
f ∘ g ≠ g ∘ f {\displaystyle f\circ g\neq g\circ f} 
To je vidět na prvním příkladu, kde (g ∘ f)(2) = 2*2 - 1 = 3 a (f ∘ g)(2) = 2*(2-1) = 2.
Otázky a odpovědi
Otázka: Co je to složení funkcí?
Odpověď: Kompozice funkce je způsob, jak vytvořit novou funkci ze dvou jiných funkcí pomocí procesu podobného řetězci.
Otázka: Jak se zapisuje hodnota g složená s f?
Odpověď: Hodnota funkce g složené s funkcí f se zapisuje jako (g ∘ f)(x) a je definována jako g(f(x)).
Otázka: Jaké jsou příklady funkcí?
Odpověď: Příkladem může být funkce, která zdvojnásobuje číslo (násobí ho dvěma), a jiná funkce, která od čísla odečítá 1.
Otázka: Jaký by byl příklad funkce g složené s f?
Odpověď: Příkladem funkce g složené s f by mohla být funkce, která zdvojnásobí číslo a pak od něj odečte 1. To je (g ∘ f)(x)=2x-1.
Otázka: Jaký by byl příklad funkce f složené s funkcí g?
Odpověď: Příkladem funkce f složené s g by byla funkce, která od čísla odečte 1 a pak ho zdvojnásobí, tedy (f ∘ g)(x)=2(x-1).
Otázka: Lze kompozici zobecnit i na binární relace?
Odpověď: Ano, kompozici lze zobecnit i na binární relace, kde se někdy znázorňuje stejným symbolem (jako v R ∘ S).
