Dělení nulou

V matematice nelze číslo dělit nulou. Všimněte si:

1. A ∗ B = C {\displaystyle A*B=C} $A*B=C$

Je-li B = 0, pak C = 0. To je pravda. Ale:

2. A = C / B {\displaystyle A=C/B} $A=C/B$

(kde B=0, takže jsme prostě vydělili nulou).

Což je totéž jako:

3. A = 0 / 0 {\displaystyle A=0/0} $A=0/0$

Problém spočívá v tom, že A {\displaystyle A} $A$ může být libovolné číslo. Fungovalo by to, kdyby A {\displaystyle A} $A$ bylo 1 nebo kdyby bylo 1 000 000 000. O 0/0 se z tohoto důvodu říká, že má "neurčitý tvar", protože nemá jedinou hodnotu. O číslech tvaru A/0, kde A {\displaystyle A} $A$ není 0, se naopak říká, že jsou "neurčitá" nebo "neurčitá". Je to proto, že jakýkoli pokus o jejich definici povede k hodnotě nekonečna, která je sama o sobě neurčitá. Obvykle platí, že když jsou dvě čísla rovna stejné věci, jsou rovna sobě navzájem. To však neplatí, když věc, které se obě rovnají, je 0/0. To znamená, že běžná pravidla matematiky nefungují, když je číslo děleno nulou.

Nesprávné důkazy založené na dělení nulou

Zvláštní případ dělení nulou je možné skrýt za algebraický argument. To může vést k neplatným důkazům, například 1=2, jako v následujícím případě:

Za následujících předpokladů:

0 × 1 = 0 0 × 2 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}0\časů 1&=0\0\časů 2&=0.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}}$

Musí platit následující:

0 × 1 = 0 × 2. {\displaystyle 0\times 1=0\times 2.\,} $0\times 1=0\times 2.\,$

Dělením nulou získáme:

0 0 × 1 = 0 0 × 2. {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}\krát 1={\frac {0}{0}}\krát 2.} $\textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.$

Zjednodušte:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

Chybou je předpoklad, že dělení nulou je legitimní operace s 0/0 = 1.

Většina lidí by pravděpodobně uznala výše uvedený "důkaz" za nesprávný, ale stejný argument lze předložit způsobem, který ztíží odhalení chyby. Například pokud je 1 zapsána jako x, pak se 0 může skrývat za x-x a 2 za x+x. Výše uvedený důkaz pak lze zobrazit takto:

( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}} ${\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}$

proto:

( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . {\displaystyle (x-x)x=(x-x)(x+x).\,} $(x-x)x=(x-x)(x+x).\,$

Dělením x - x získáme:

x = x + x {\displaystyle x=x+x\,} $x=x+x\,$

a dělením x získáme:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

Výše uvedený "důkaz" je nesprávný, protože při dělení x-x dělí nulou, protože každé číslo minus samo sebe je nula.

Kalkulace

Výše uvedené "neurčité formy" vznikají v kalkulu také v důsledku přímé substituce při vyhodnocování limit.

Dělení nulou v počítačích

Pokud se počítačový program pokusí vydělit celé číslo nulou, operační systém to obvykle zjistí a program zastaví. Obvykle vypíše "chybovou zprávu" nebo programátorovi poradí, jak program vylepšit^[]. Dělení nulou je běžnou chybou v počítačovém programování. Dělení čísel s plovoucí desetinnou čárkou (desetinných čísel) nulou obvykle vede buď k nekonečnu, nebo ke speciální hodnotě NaN (není číslo), v závislosti na tom, co se nulou dělí.

Dělení nulou v geometrii

V geometrii 1 0 = ∞ . {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{0}}=\infty . } $\textstyle {\frac {1}{0}}=\infty .$ Toto nekonečno (projektivní nekonečno) není ani kladné, ani záporné číslo, stejně jako nula není ani kladné, ani záporné číslo.

Otázky a odpovědi

Otázka: Jaký je výsledek dělení čísla nulou?

Odpověď: Výsledkem dělení čísla nulou je "neurčitý" nebo "neurčitý tvar", což znamená, že číslo nemá jedinou hodnotu.

Otázka: Co znamená 0/0?

Odpověď: O čísle 0/0 se říká, že má "neurčitý tvar", protože nemá jedinou hodnotu.

Otázka: Co se stane, když se dvě čísla rovnají stejné věci, ale ta věc je 0/0?

Odpověď: Běžná pravidla matematiky nefungují, když je číslo děleno nulou, takže obě čísla by si nebyla rovna.

Otázka: Je pravda, že každý pokus o definici čísla ve tvaru A/0 povede k hodnotě nekonečna?

Odpověď: Ano, každý pokus o definici čísla tvaru A/0 (kde A není 0) povede k hodnotě nekonečna, které je samo o sobě nedefinované.

Otázka: Jak můžeme určit, zda se dvě čísla navzájem rovnají?

Odpověď: To, zda se dvě čísla sobě rovnají, můžeme zjistit tak, že zjistíme, zda jsou obě rovna téže věci. Obvykle to funguje, avšak neplatí to, pokud jsou obě čísla rovna 0/0.

Otázka: Existuje nějaká výjimka, kdy nemůžeme číslo dělit nulou? Odpověď: Ano, v matematice nelze číslo dělit nulou.