V algebře existuje několik pravidel, která lze použít pro další pochopení rovnic. Tato pravidla se nazývají pravidla algebry. Ačkoli se tato pravidla mohou zdát nesmyslná nebo samozřejmá, je moudré si uvědomit, že tyto vlastnosti neplatí ve všech odvětvích matematiky. Proto bude užitečné vědět, jak jsou tato axiomatická pravidla deklarována, než je začneme považovat za samozřejmost. Než přejdeme k samotným pravidlům, zamysleme se nad dvěma definicemi, které budou uvedeny.
- Opak - opakem {\displaystyle a}
je - a {\displaystyle -a}
. - Reciproční - reciproká hodnota a {\displaystyle a} je 1 a {\displaystyle {\frac {1}{a}}}.
.
Pravidla
Komutativní vlastnost sčítání
"Komutativní" znamená, že funkce má stejný výsledek, pokud se čísla prohodí. Jinými slovy, na pořadí členů v rovnici nezáleží. Pokud je operátorem dvou členů sčítání, platí "komutativní vlastnost sčítání". V algebraickém vyjádření to znamená, že a + b = b + a {\displayystyle a+b=b+a} 
.
Všimněte si, že to neplatí pro odčítání! (tj. a - b ≠ b - a {\displaystyle a-b\neq b-a} 
)
Komutativní vlastnost násobení
Pokud je operátorem dvou členů násobení, platí "komutativní vlastnost násobení". V algebraickém vyjádření to znamená a ⋅ b = b ⋅ a {\displayystyle a\cdot b=b\cdot a} 
.
Upozorňujeme, že toto neplatí pro dělení! (tj. a b ≠ b a {\displaystyle {\frac {a}{b}}\neq {\frac {b}{a}}}). 
když a ≠ b {\displaystyle a\neq b} 
).
Asociativní vlastnost sčítání
"Asociativní" se vztahuje na seskupení čísel. Asociativní vlastnost sčítání znamená, že při sčítání tří a více členů nezáleží na tom, jak jsou tyto členy seskupeny. Algebraicky to znamená a + ( b + c ) = ( a + b ) + c {\displayystyle a+(b+c)=(a+b)+c} 
. Všimněte si, že toto neplatí pro odčítání, např. 1 = 0 - ( 0 - 1 ) ≠ ( 0 - 0 ) - 1 = - 1 {\displaystyle 1=0-(0-1)\neq (0-0)-1=-1} 
(viz distributivní vlastnost).
Asociativní vlastnost násobení
Z asociativní vlastnosti násobení vyplývá, že při násobení tří a více členů nezáleží na tom, jak jsou tyto členy seskupeny. Algebraicky to znamená a ⋅ ( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c {\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c} 
. Všimněte si, že to neplatí pro dělení, např. 2 = 1 / ( 1 / 2 ) ≠ ( 1 / 1 ) / 2 = 1 / 2 {\displaystyle 2=1/(1/2)\neq (1/1)/2=1/2} 
.
Distributivní vlastnost
Distributivní vlastnost říká, že násobení čísla jiným členem lze rozložit. Například: a ⋅ ( b + c ) = a b + a c {\displayystyle a\cdot (b+c)=ab+ac} 
. (Nezaměňujte to s asociativními vlastnostmi! Například a ⋅ ( b + c ) ≠ ( a ⋅ b ) + c {\displaystyle a\cdot (b+c)\neq (a\cdot b)+c} 
.)
Vlastnost aditivní identity
"Identita" označuje vlastnost čísla, že se rovná samo sobě. Jinými slovy, existuje operace dvou čísel tak, že se rovná proměnné součtu. Vlastnost aditivní identity říká, že součet libovolného čísla a 0 je toto číslo: a + 0 = a {\displayystyle a+0=a} 
. To platí i pro odčítání: a - 0 = a {\displaystyle a-0=a} 
.
Vlastnost multiplikativní identity
Vlastnost multiplikativní identity říká, že součin libovolného čísla a 1 je toto číslo: a ⋅ 1 = a {\displayystyle a\cdot 1=a} 
. To platí i pro dělení: a 1 = a {\displaystyle {\frac {a}{1}}=a} 
.
Aditivní inverzní vlastnost
Vlastnost aditivní inverze je něco jako opak vlastnosti aditivní identity. Pokud je operace součtem čísla a jeho opaku a rovná se 0, je tato operace platnou algebraickou operací. Algebraicky to znamená následující: a - a = 0 {\displayystyle a-a=0} 
. Aditivní inverzní číslo k 1 je (-1).
Multiplikativní inverzní vlastnost
Multiplikativní inverzní vlastnost znamená, že pokud je operace součinem čísla a jeho reciproké hodnoty a je rovna 1, je tato operace platnou algebraickou operací. Algebraicky to znamená: a a = 1 {\displayystyle {\frac {a}{a}}=1} 
. Multiplikativní inverzní hodnota 2 je 1/2.
