Polynomická rovnice
V matematice je algebraická rovnice, nazývaná také polynomiální rovnice nad daným polem, rovnice tvaru
P = Q {\displaystyle P=Q} 
kde P a Q jsou polynomy nad tímto polem a mají jednu (jednorozměrnou) nebo více než jednu (vícerozměrnou) proměnnou. Například:
y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}}. 
je algebraická rovnice nad racionálními čísly.
Dvě rovnice se nazývají ekvivalentní, pokud mají stejnou množinu řešení. To znamená, že všechna řešení druhé rovnice musí být zároveň řešeními první rovnice a naopak. Rovnice P = Q {\displaystyle P=Q} je ekvivalentní s P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0}
. Studium algebraických rovnic je tedy ekvivalentní studiu polynomů.
Pokud je algebraická rovnice nad racionálními čísly, lze ji vždy převést na ekvivalentní rovnici, kde jsou všechny koeficienty celá čísla. Například ve výše uvedené rovnici vynásobíme 42 = 2-3-7 a členy v prvním členu seskupíme. Rovnici převedeme na
42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0} 
Řešení rovnice jsou hodnoty proměnných, pro které rovnice platí. U algebraických rovnic však existují také tzv. kořeny. Při řešení rovnice musíme říci, v jaké množině jsou řešení přípustná. Například pro rovnici nad racionálními čísly lze najít řešení v celých číslech. Pak je rovnice rovnicí diofantovskou. Řešení lze hledat také v oboru komplexních čísel. Řešení lze hledat také v reálných číslech.
Starověcí matematici hledali řešení jednorozměrných rovnic (tj. rovnic s jednou proměnnou) ve formě radikálových výrazů, jako je x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
pro kladné řešení x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}
. Staří Egypťané uměli tímto způsobem řešit rovnice stupně 2 (tj. rovnice, v nichž nejvyšší mocnina proměnné je 2). V období renesance řešil Gerolamo Cardano rovnici stupně 3 a Lodovico Ferrari rovnici stupně 4. Konečně Niels Henrik Abel v roce 1824 dokázal, že rovnici stupně 5 a rovnice vyšších stupňů nelze vždy řešit pomocí radikálů. Galoisova teorie, pojmenovaná po Évariste Galoisovi, byla zavedena, aby poskytla kritéria rozhodující o tom, zda je rovnice řešitelná pomocí radikálů.
Otázky a odpovědi
Otázka: Co je to algebraická rovnice?
Odpověď: Algebraická rovnice je rovnice tvaru P = Q, kde P a Q jsou polynomy nad daným polem s jednou nebo více proměnnými.
Otázka: Jak mohou být dvě rovnice ekvivalentní?
Odpověď: Dvě rovnice jsou považovány za ekvivalentní, pokud mají stejnou množinu řešení, což znamená, že všechna řešení jedné rovnice musí být zároveň řešeními druhé rovnice a naopak.
Otázka: Co znamená řešit rovnici?
Odpověď: Řešení rovnice znamená nalezení hodnot proměnných, které rovnici činí pravdivou. Tyto hodnoty se nazývají kořeny.
Otázka: Lze algebraické rovnice nad racionálními čísly vždy převést na rovnice s celočíselnými koeficienty?
Odpověď: Ano, vynásobením obou stran číslem, například 42 = 2-3-7, a seskupením členů v prvním členu lze každou algebraickou rovnici nad racionálními čísly převést na rovnici s celočíselnými koeficienty.
Otázka: Kdy chtěli starověcí matematici radikální výrazy pro jednovětné rovnice?
Odpověď: Starověcí matematici chtěli radikálové výrazy (jako x=1+√5/2) pro jednorozměrné rovnice (rovnice s jednou proměnnou) v období renesance.
Otázka: Kdo v této době řešil rovnice 3. a 4. stupně?
A: Gerolamo Cardano řešil v této době rovnice 3. stupně a Lodovico Ferrari rovnice 4. stupně.
Otázka: Kdo dokázal, že rovnice vyšších stupňů nelze vždy řešit pomocí radikálů?
Odpověď: Niels Henrik Abel v roce 1824 dokázal, že rovnice vyššího stupně nelze vždy řešit pomocí radikálů.
