Polynom je druh algebraického výrazu tvořeného součtem členů, z nichž každý je monomický, to znamená, že je to číslo (koeficient), proměnná nebo součin mocnin proměnných s celočíselnými nezápornými exponenty. Příkladem polynomu je 7x⁴-3x³+19x²-8x+197, tedy výraz, ve kterém jsou písmena (proměnné) smíchaná s čísly a aritmetickými operacemi. Matematici, vědci a inženýři používají polynomy k modelování, aproximaci funkcí a řešení praktických problémů; polynomy se běžně vyučují v algebře, která je základem většiny technických oborů.

Definice a základní pojmy

  • Člen (monom): tvar ax^n (v případě jedné proměnné), kde a je koeficient (reálné nebo komplexní číslo) a n je nezáporné celé číslo. Víceproměnné členy mají tvar a x^i y^j …
  • Polynom: součet několika monomů. Například 7x⁴-3x³+19x²-8x+197 je polynom čtvrtého stupně.
  • Stupeň (degree): nejvyšší exponent proměnné v polynomu (u víceproměnných je to obvykle součet exponentů v příslušném členu nebo maximum podle definice). Například stupeň polynomu 7x⁴-3x³+… je 4.
  • Vedoucí koeficient: koeficient u nejvyšší mocniny (v příkladu je vedoucí koeficient 7).
  • Konstantní polynom: polynom stupně 0 (např. 197). Nulový polynom (všechny koeficienty = 0) nemá dobře definovaný stupeň nebo se mu někdy přiřazuje −∞.

Kdy výraz není polynom

Polynom může obsahovat pouze sčítání, odčítání a násobení proměnných s celočíselnými nezápornými exponenty. Pokud se ve výrazu objeví dělení proměnné (např. 1/x), záporné nebo necelé exponenty (např. x^{1/2}), odmocniny nebo proměnná ve jmenovateli, tak takový výraz není polynom. Proto výrazy využívající složitější operace, jako jsou odmocniny nebo dělení, obvykle nepatří mezi polynomy.

Algebraické a funkční použití

Polynomy se používají k sestavování polynomiálních rovnic, jako je například rovnice 7x⁴-3x³+19x²-8x+197 = 0, a také k definici polynomických funkcí, například f(x) = 7x⁴-3x³+19x²-8x+197. Hodnota funkce v konkrétním bodě x se získá dosazením a vyčíslováním (evaluací).

Operace s polynomy

  • Sčítání a odčítání: provádí se seřazením členů podle stupňů a sečtením koeficientů u stejných mocnin.
  • Násobení: součin dvou polynomů je opět polynom; stupně se sčítají a koeficienty se násobí a skládají.
  • Dělení: reálné (či komplexní) polynomy lze dělit pomocí polynomiální dělení nebo syntetického dělení; výsledek je podíl a zbytek. Dělitelnost a faktorizace jsou základní úlohy v teorii polynomů.
  • Derivace a integrály: derivací polynomu vznikne opět polynom (stupeň se sníží o 1), integrací dostaneme polynom zvýšeného stupně (plus integrační konstanta). To dělá polynomy snadno použitelnými v diferenciálním počtu.

Kořeny, násobnosti a faktorizace

Kořenem polynomu (řešením rovnice p(x)=0) je hodnota x, pro kterou polynom nabývá nuly. Kořeny mohou být reálné nebo komplexní. Kořen může mít násobnost (multiplicitu) >1, pokud faktor (x−r)^k dělí polynom. Podle Základní věty algebry má n-tého stupně polynom nad komplexními čísly přesně n kořenů, počítáno s násobnostmi.

Faktorizace polynomu (rozklad na součin polynomů nižších stupňů) je často cílem; například nelinární polynom druhého stupně lze rozložit kvadratickou formou, u vyšších stupňů se používají různé algoritmy a kriteriální testy. V oboru racionálních koeficientů mohou některé polynomy zůstat ireducibilní.

Polynomy více proměnných

Polynomy nemusí být jen v jedné proměnné. Například výraz a x^2 y + b xy^3 + c je polynom ve dvou (nebo více) proměnných. Stupeň víceproměnného polynomu se obvykle určuje jako maximální součet exponentů v jednom členu.

Praktické aplikace

  • Interpolace dat (např. Lagrangeovy polynomy), aproximace funkcí (Taylorovy polynomy).
  • Modelování v přírodních vědách a inženýrství – pohybová kinematika, ekonomické křivky, signálové filtry apod.
  • Náročné výpočty a numerické metody – kořeny polynomů, metoda nejmenších čtverců, splines (které jsou kusově polynomické funkce).
  • Algebraická teorie – polynomy tvoří prstence (polynomial rings), používají se v teorii čísel, kryptografii a kódování.

Příklady pojmů a názvů

  • Monom: 5x³
  • Binom: součet dvou členů, např. x+1
  • Trinom: součet tří členů, např. x²+2x+1
  • Konstantní polynom: 197
  • Příklad polynomu: 7x⁴-3x³+19x²-8x+197 (stupeň 4, vedoucí koeficient 7)

Pokud se v algebře setkáte s výrazem, kde jsou písmena, čísla a běžné aritmetické symboly, uvažujte, že písmena značí proměnné (často neznámé nebo veličiny, které se mění, jako je čas). Mnohočlen (polynom) pak představuje jeden z nejzákladnějších a nejpoužívanějších typů algebraických výrazů; pro složitější operace, například dělení proměnných nebo odmocniny, už tento pojem neplatí.