Infinitezimální počet

Historie

V 70. a 80. letech 16. století přišli sir Isaac Newton v Anglii a Gottfried Leibniz v Německu současně s výpočty, přičemž pracovali odděleně jeden od druhého. Newton chtěl mít nový způsob, jak předpovědět, kde na obloze uvidíme planety, protože astronomie byla vždy populární a užitečnou formou vědy a znát více o pohybech objektů na noční obloze bylo důležité pro navigaci lodí. Leibniz chtěl změřit prostor (plochu) pod křivkou (přímkou, která není přímá). O mnoho let později se oba muži přeli o to, kdo ji objevil jako první. Vědci z Anglie podporovali Newtona, ale vědci ze zbytku Evropy podporovali Leibnize. Většina matematiků se dnes shoduje, že oba muži si zásluhy dělí rovným dílem. Některé části moderního kalkulu pocházejí od Newtona, například jeho využití ve fyzice. Jiné části pocházejí od Leibnize, například symboly používané k jeho zápisu.

Nebyli první, kdo použil matematiku k popisu fyzikálního světa - Aristoteles a Pythagoras byli první, stejně jako Galileo Galilei, který tvrdil, že matematika je jazykem vědy. Newton i Leibniz však jako první navrhli systém, který popisuje, jak se věci mění v čase, a dokáže předpovědět, jak se budou měnit v budoucnosti.

Název "calculus" pochází z latiny a označuje malý kámen, který staří Římané používali při počítání a hazardních hrách. Anglické slovo "calculate" pochází ze stejného latinského slova.

Diferenciální počet

Diferenciální počet se používá ke zjištění rychlosti změny proměnné ve srovnání s jinou proměnnou.

V reálném světě se dá použít k určení rychlosti pohybujícího se objektu nebo k pochopení fungování elektřiny a magnetismu. Je velmi důležitý pro pochopení fyziky a mnoha dalších oblastí vědy.

Diferenciální počet je také užitečný pro tvorbu grafů. Lze jej použít k nalezení sklonu křivky a nejvyššího a nejnižšího bodu (nazývají se maximum a minimum) křivky.

Proměnné mohou měnit svou hodnotu. Tím se liší od čísel, protože čísla jsou vždy stejná. Například číslo 1 je vždy rovno 1 a číslo 200 je vždy rovno 200. Proměnné se často zapisují jako písmena, například písmeno x. "X" může být v jednom okamžiku rovno 1 a v jiném okamžiku 200.

Příkladem proměnných jsou vzdálenost a čas, protože se mohou měnit. Rychlost předmětu udává, jakou vzdálenost urazí za určitý čas. Pokud je tedy město vzdálené 80 kilometrů a člověk v autě se tam dostane za jednu hodinu, ujel průměrnou rychlostí 80 kilometrů za hodinu. Jedná se však pouze o průměr - možná, že v některých okamžicích jeli rychleji (na dálnici) a jindy pomaleji (na semaforu nebo v malé ulici, kde žijí lidé). Představte si, že by se řidič snažil zjistit rychlost auta pouze pomocí jeho počítadla kilometrů (měřiče vzdálenosti) a hodin, bez tachometru!

Dokud nebyl vynalezen kalkul, jediným způsobem, jak to zjistit, bylo rozřezat čas na menší a menší části, takže průměrná rychlost za menší čas se stále více blížila skutečné rychlosti v daném časovém okamžiku. To byl velmi zdlouhavý a náročný proces, který se musel provádět pokaždé, když lidé chtěli něco vyřešit.

Velmi podobným problémem je nalezení sklonu (strmosti) v libovolném bodě křivky. Sklon přímky lze snadno určit - je to jednoduše to, o kolik stoupá (y neboli svislice) děleno tím, o kolik jde napříč (x neboli vodorovná rovina). Na křivce je však sklon proměnný (má v různých bodech různé hodnoty), protože přímka se ohýbá. Kdybychom však křivku rozřezali na velmi, velmi malé kousky, křivka by v daném bodě vypadala téměř jako velmi krátká přímka. Abychom tedy zjistili její sklon, můžeme bodem protáhnout přímku se stejným sklonem, jaký má křivka v tomto bodě. Pokud je to provedeno přesně, bude mít přímka stejný sklon jako křivka a nazývá se tečna. Neexistuje však žádný způsob, jak zjistit (bez velmi složité matematiky), zda je tečna přesně správná, a naše oči nejsou dostatečně přesné, abychom si mohli být jisti, zda je přesná, nebo jen velmi blízká.

Newton a Leibniz našli způsob, jak přesně určit sklon (nebo rychlost v příkladu se vzdáleností) pomocí jednoduchých a logických pravidel. Rozdělili křivku na nekonečný počet velmi malých částí. Poté vybrali body na obou stranách rozsahu, který je zajímal, a v každém z nich vypracovali tečnu. Jak se body přibližovaly k bodu, který je zajímal, sklon se blížil určité hodnotě, protože tečny se blížily skutečnému sklonu křivky. Konkrétní hodnota, ke které se přiblížila, byla skutečným sklonem.

Řekněme, že máme funkci y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} . f je zkratka pro funkci, takže tato rovnice znamená "y je funkce x". To nám říká, že to, jak vysoko je y na svislé ose, závisí na tom, jaké je v daném okamžiku x (vodorovná osa). Například rovnice y = x {\displaystyle2 y=x^{2}}. víme, že pokud x {\displaystyle x} je 1, pak y {\displaystyle y} bude 1; pokud x {\displaystyle x} je 3, pak y {\displaystyle y} bude 9; pokud x {\displaystyle x} je 20, pak y {\displaystyle y} bude 400. Derivace vytvořená touto metodou je x 2{\displaystyle 2x}. neboli 2 vynásobené x {\displaystyle x} . Víme tedy, aniž bychom museli kreslit tečné čáry, že v každém bodě křivky f ( x ) = x {\displaystyle2 f(x)=x^{2}}. , derivace f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} (označená symbolem prvočísla), bude v každém bodě x 2{\displaystyle 2x}. Tento postup výpočtu sklonu pomocí limit se nazývá diferenciace neboli nalezení derivace.

Způsob zápisu derivace v matematice je f ′ ( x ) = lim h → f0 ( x + h ) - f ( x ) h . {\displaystyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}. }

Leibniz dospěl ke stejnému výsledku, ale nazval h " d x {\displaystyle dx} ", což znamená "vzhledem k x". Výslednou změnu f ( x ) nazval {\displaystyle f(x)}. " d y {\displaystyle dy} ", což znamená "nepatrné množství y". Leibnizův zápis se používá ve více knihách, protože je snadno pochopitelný, když se rovnice stanou složitějšími. V Leibnizově notaci: d y d x = f ′ ( x ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)}

Matematici tuto základní teorii rozvinuli a vytvořili jednoduchá algebraická pravidla, která lze použít k nalezení derivace téměř jakékoli funkce.

Na křivce mají dva různé body různý sklon. Červená a modrá čára jsou tečny ke křivce.


Obrázek, který ukazuje, co na křivce znamená x a x + h.

Integrální počet

Integrální počet je proces výpočtu plochy pod grafem funkce. Příkladem je výpočet vzdálenosti, kterou ujede auto: pokud známe rychlost auta v různých časových okamžicích a nakreslíme graf této rychlosti, pak vzdálenost, kterou auto ujede, bude plocha pod grafem.

Toho dosáhnete tak, že graf rozdělíte na mnoho velmi malých částí a pod každou část nakreslíte velmi tenké obdélníky. Jak se obdélníky stávají tenčími a tenčími, zakrývají plochu pod grafem stále lépe a lépe. Plochu obdélníku lze snadno vypočítat, takže můžeme vypočítat celkovou plochu všech obdélníků. U tenčích obdélníků se tato hodnota celkové plochy blíží ploše pod grafem. Výsledná hodnota plochy se nazývá integrál funkce.

V matematice se integrál funkce f(x) z a do b zapisuje jako ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} .

Plochu pod křivkou můžeme přibližně určit tak, že sečteme plochy mnoha obdélníků pod křivkou. Čím více obdélníků použijeme, tím lepší bude naše aproximace.


Integrace spočívá v nalezení ploch daných hodnotami a, b a y = f(x).

Hlavní myšlenka kalkulu

Hlavní myšlenka kalkulu se nazývá základní věta kalkulu. Tato hlavní myšlenka říká, že dva počtářské postupy, diferenciální a integrální počet, jsou protikladné. To znamená, že člověk může pomocí diferenciálního počtu zrušit proces integrálního počtu. Také člověk může použít integrální kalkul ke zrušení metody diferenciálního kalkulu. Je to stejné jako použití dělení ke "zrušení" násobení nebo sčítání ke "zrušení" odčítání.

V jedné větě zní základní věta přibližně takto: "Derivátem integrálu funkce f je funkce sama".

Další použití kalkulu

Kalkul se používá k popisu věcí, které se mění, například věcí v přírodě. Lze ji použít k zobrazení a učení všech těchto jevů:

• Jak se vlny pohybují. Vlny jsou v přírodě velmi důležité. Například zvuk a světlo lze považovat za vlny.
• Tam, kde se pohybuje teplo, jako v domě. To je užitečné pro architekturu (stavbu domů), aby bylo vytápění domu co nejlevnější.
• Jak se chovají velmi malé věci, jako jsou atomy.
• Jak rychle něco spadne, známé také jako gravitace.
• Jak stroje fungují, známé také jako mechanika.
• Dráha Měsíce při jeho pohybu kolem Země. Také dráha Země při pohybu kolem Slunce a dráha jakékoli planety nebo měsíce při pohybu kolem čehokoli ve vesmíru.