Diferenciální počet se používá ke zjištění rychlosti změny proměnné ve srovnání s jinou proměnnou.
V reálném světě se dá použít k určení rychlosti pohybujícího se objektu nebo k pochopení fungování elektřiny a magnetismu. Je velmi důležitý pro pochopení fyziky a mnoha dalších oblastí vědy.
Diferenciální počet je také užitečný pro tvorbu grafů. Lze jej použít k nalezení sklonu křivky a nejvyššího a nejnižšího bodu (nazývají se maximum a minimum) křivky.
Proměnné mohou měnit svou hodnotu. Tím se liší od čísel, protože čísla jsou vždy stejná. Například číslo 1 je vždy rovno 1 a číslo 200 je vždy rovno 200. Proměnné se často zapisují jako písmena, například písmeno x. "X" může být v jednom okamžiku rovno 1 a v jiném okamžiku 200.
Příkladem proměnných jsou vzdálenost a čas, protože se mohou měnit. Rychlost předmětu udává, jakou vzdálenost urazí za určitý čas. Pokud je tedy město vzdálené 80 kilometrů a člověk v autě se tam dostane za jednu hodinu, ujel průměrnou rychlostí 80 kilometrů za hodinu. Jedná se však pouze o průměr - možná, že v některých okamžicích jeli rychleji (na dálnici) a jindy pomaleji (na semaforu nebo v malé ulici, kde žijí lidé). Představte si, že by se řidič snažil zjistit rychlost auta pouze pomocí jeho počítadla kilometrů (měřiče vzdálenosti) a hodin, bez tachometru!
Dokud nebyl vynalezen kalkul, jediným způsobem, jak to zjistit, bylo rozřezat čas na menší a menší části, takže průměrná rychlost za menší čas se stále více blížila skutečné rychlosti v daném časovém okamžiku. To byl velmi zdlouhavý a náročný proces, který se musel provádět pokaždé, když lidé chtěli něco vyřešit.
Velmi podobným problémem je nalezení sklonu (strmosti) v libovolném bodě křivky. Sklon přímky lze snadno určit - je to jednoduše to, o kolik stoupá (y neboli svislice) děleno tím, o kolik jde napříč (x neboli vodorovná rovina). Na křivce je však sklon proměnný (má v různých bodech různé hodnoty), protože přímka se ohýbá. Kdybychom však křivku rozřezali na velmi, velmi malé kousky, křivka by v daném bodě vypadala téměř jako velmi krátká přímka. Abychom tedy zjistili její sklon, můžeme bodem protáhnout přímku se stejným sklonem, jaký má křivka v tomto bodě. Pokud je to provedeno přesně, bude mít přímka stejný sklon jako křivka a nazývá se tečna. Neexistuje však žádný způsob, jak zjistit (bez velmi složité matematiky), zda je tečna přesně správná, a naše oči nejsou dostatečně přesné, abychom si mohli být jisti, zda je přesná, nebo jen velmi blízká.
Newton a Leibniz našli způsob, jak přesně určit sklon (nebo rychlost v příkladu se vzdáleností) pomocí jednoduchých a logických pravidel. Rozdělili křivku na nekonečný počet velmi malých částí. Poté vybrali body na obou stranách rozsahu, který je zajímal, a v každém z nich vypracovali tečnu. Jak se body přibližovaly k bodu, který je zajímal, sklon se blížil určité hodnotě, protože tečny se blížily skutečnému sklonu křivky. Konkrétní hodnota, ke které se přiblížila, byla skutečným sklonem.
Řekněme, že máme funkci y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)}
. f je zkratka pro funkci, takže tato rovnice znamená "y je funkce x". To nám říká, že to, jak vysoko je y na svislé ose, závisí na tom, jaké je v daném okamžiku x (vodorovná osa). Například rovnice y = x {\displaystyle2 y=x^{2}}. 
víme, že pokud x {\displaystyle x}
je 1, pak y {\displaystyle y}
bude 1; pokud x {\displaystyle x} je 3, pak y {\displaystyle y} bude 9; pokud x {\displaystyle x} je 20, pak y {\displaystyle y} bude 400. Derivace vytvořená touto metodou je x 2{\displaystyle 2x}. 
neboli 2 vynásobené x {\displaystyle x} . Víme tedy, aniž bychom museli kreslit tečné čáry, že v každém bodě křivky f ( x ) = x {\displaystyle2 f(x)=x^{2}}. 
, derivace f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} 
(označená symbolem prvočísla), bude v každém bodě x 2{\displaystyle 2x}. Tento postup výpočtu sklonu pomocí limit se nazývá diferenciace neboli nalezení derivace.
Způsob zápisu derivace v matematice je f ′ ( x ) = lim h → f0 ( x + h ) - f ( x ) h . {\displaystyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}. } 
Leibniz dospěl ke stejnému výsledku, ale nazval h " d x {\displaystyle dx} 
", což znamená "vzhledem k x". Výslednou změnu f ( x ) nazval {\displaystyle f(x)}. 
" d y {\displaystyle dy} 
", což znamená "nepatrné množství y". Leibnizův zápis se používá ve více knihách, protože je snadno pochopitelný, když se rovnice stanou složitějšími. V Leibnizově notaci: d y d x = f ′ ( x ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)} 
Matematici tuto základní teorii rozvinuli a vytvořili jednoduchá algebraická pravidla, která lze použít k nalezení derivace téměř jakékoli funkce.
