Imaginární čísla: definice, vlastnosti a použití v matematice

Imaginární čísla: jasná definice, klíčové vlastnosti a praktické použití v matematice — s příklady a intuitivním vysvětlením pro studenty i odborníky.

Imaginární čísla jsou čísla, která vznikají kombinací reálného čísla s imaginární jednotkou zvanou i, kde i je definováno jako i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1}. Imaginární číslo ve tvaru bi (kde b je reálné číslo) se nazývá čistě imaginární. Samotné číslo i splňuje i² = −1, tedy žádné reálné číslo tuto vlastnost nemá.

Na intuici pomáhá geometrická interpretace: reálná čísla představují posun po vodorovné ose (východ–západ), imaginární složka představuje posun po svislé ose (sever–jih). Tak například:

• posun o −1 na ose východ–západ je jako posun o 1 na západ;
• posun o i na ose východ–západ lze chápat jako posun o 1 na sever;
• posun o 1+i znamená posun o 1 na východ a zároveň o 1 na sever.

Základní vlastnosti a aritmetika

Imaginární čísla se používají spolu s reálnými čísly v tzv. komplexních číslech, která mají tvar a + bi, kde a a b jsou reálná čísla. Základní operace lze popsat následovně:

• Sčítání: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.
• Odčítání: (a+bi) − (c+di) = (a−c) + (b−d)i.
• Násobení: (a+bi)(c+di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. (Použije se i pravidlo i² = −1.)
• Dělení: Pro dělení se často použije komplexně sdružené číslo: (a+bi)/(c+di) = [(a+bi)(c−di)]/(c²+d²) = [(ac+bd) + (bc−ad)i]/(c²+d²).
• Modul (velikost): |a+bi| = sqrt(a² + b²).
• Komplexně sdružené: \u202Fa̲ + bi\u202F ↦ \u202Fa − bi\u202F (používá se např. při dělení a při výpočtu modu).

Praktický příklad: (2+3i)+(1−4i)=3−i; (2+3i)(1−4i)=2·1−3·(−4) + (2·(−4)+3·1)i = (2+12) + (−8+3)i = 14 − 5i.

Geometrická a polární reprezentace

Komplexní číslo lze v rovině reprezentovat bodem s kartézskými souřadnicemi (a, b). Alternativně se používá polární (goniometrická) forma:

• r = |a+bi| = sqrt(a² + b²) (vzdálenost od počátku),
• θ = arg(a+bi) (úhel s kladnou reálnou osou).

Polární forma: a+bi = r(cos θ + i sin θ). Pomocí Eulerovy formule lze psát elegantněji: a+bi = r e^{iθ} = r (cos θ + i sin θ). Tato reprezentace zjednodušuje násobení a mocnění: r₁ e^{iθ₁} · r₂ e^{iθ₂} = (r₁ r₂) e^{i(θ₁+θ₂)} a (r e^{iθ})^n = r^n e^{i n θ}.

Algebraické vlastnosti a teoretický význam

Komplexní čísla tvoří pole (soubor uzavřený na sčítání, násobení, odečítání a dělení kromě dělení nulou) a zároveň dvourozměrný vektorový prostor nad reálnými čísly. Důležitým teoretickým výsledkem je Základní věta algebry: každá nenulová polynomiální rovnice s komplexními koeficienty má alespoň jeden komplexní kořen. To znamená, že komplexní čísla jsou algebraicky uzavřená množina.

Krátká historie

Myšlenka „imaginárních“ čísel se objevila při řešení kubických rovnic (Girolamo Cardano, 16. století). Pravidla pro manipulaci s těmito čísly formuloval Rafael Bombelli. Notace i a rozvoj teorie jsou spojeny s Leonhardem Eulerem a dalšími matematiky 18. století. Ačkoliv název „imaginární“ může znít pejorativně, dnes jsou tato čísla považována za plnohodnotný matematický objekt se širokým použitím.

Aplikace

Imaginární a komplexní čísla nacházejí uplatnění v mnoha oblastech:

• Elektrotechnika: analýza obvodů v komplexní frekvenční oblasti (fázory). Elektrotechnici často používají j místo i, aby se vyhnuli záměně se symbolem pro proud.
• Signálové zpracování a Fourierova transformace: komplexní exponenciály popisují frekvenční složky signálů a jsou základem FFT algoritmů.
• Řízení a stabilita: polynomy charakteristických rovnic a poloha vlastních čísel v komplexní rovině rozhodují o stabilitě systémů.
• Kvantová fyzika a teorie pole: amplitudy a vlnové funkce jsou obvykle komplexní (viz fyziky, kvantová fyzika).
• Matematika: řešení diferenciálních rovnic, teorie funkcí komplexní proměnné, analytické funkce, potenciální teorie.
• Počítačová grafika a zpracování obrazu: některé transformace a algoritmy využívají komplexní aritmetiku.

Často se vyskytující termíny

• Reálná část: Re(a+bi) = a.
• Imaginární část: Im(a+bi) = b.
• Čistě imaginární číslo: číslo s Re = 0, například 3i nebo −7i.
• Komplexně sdružené: a+bi ↔ a−bi, užitečné při dělení a při výpočtu modulů.

Imaginární čísla rozšiřují množinu číslic tak, že mnoho matematických problémů, které by jinak neměly řešení v reálných číslech (např. odmocniny záporných čísel nebo kořeny polynomů), lze elegantně a konzistentně řešit. Název „imaginární“ tedy není mírou neexistence, ale historickou stopou k době, kdy byly takové objekty považovány za netradiční.

Otázky a odpovědi

Otázka: Co je to imaginární číslo?

Otázka: Jak se imaginární čísla liší od záporných reálných čísel?

Otázka: Co znamená, když řekneme "jít na východ o -i míle"?

Otázka: Jak se sčítají dvě imaginární čísla?

Otázka: Co jsou to komplexní čísla?

Otázka: V jakých oborech matematici používají pojem imaginární jednotky?

Hledání podle dopisu