V matematice jsou imaginární jednotky neboli i čísla, která lze reprezentovat rovnicemi, ale označují hodnoty, které by v reálném životě nemohly fyzicky existovat. Matematická definice imaginární jednotky je i = - 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}). 
, která má vlastnost i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\krát i=i^{2}=-1}
.
Důvodem vytvoření i byla odpověď na polynomickou rovnici x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0}. 
, která normálně nemá řešení, protože hodnota x 2 {\displaystyle x^{2}}
by se musela rovnat -1. Přestože je úloha řešitelná, odmocninu z -1 by v reálném životě nebylo možné reprezentovat fyzikální veličinou žádného objektu.
Definice a základní vlastnosti
Imaginární jednotka i je číslo definované tak, že i² = −1. Díky této definici vzniká celé pole komplexních čísel, jejichž obecný tvar je a + bi, kde a a b jsou reálná čísla.
- Perioda mocnin: i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1 a dále se cyklus opakuje s periodou 4.
- Komplexně sdružené číslo: Ke komplexnímu číslu z = a + bi patří sdružené z̄ = a − bi. Násobkem z a z̄ je reálné číslo: z·z̄ = a² + b².
- Modul (velikost): |z| = √(a² + b²). Pro imaginární jednotku platí |i| = 1.
- Geometrická interpretace: v komplexní rovině (Argandově rovině) odpovídá násobení číslem i rotaci o 90° proti směru hodinových ručiček.
Operace s komplexními čísly
Komplexní čísla se sčítají a násobí podobně jako binomy. Zde jsou základní vzorce:
- (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
- (a + bi)·(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
- Pro dělení: (a + bi) / (c + di) = ((a + bi)(c − di)) / (c² + d²) = ((ac + bd) + (bc − ad)i) / (c² + d²)
Krátké příklady
- (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i − 1 = 2i.
- 1 / i = −i, protože i·(−i) = −i² = 1.
Historie a význam v praxi
Pojem imaginárních čísel se začal objevovat v 16. století při řešení kvadratických a kubických rovnic. Zpočátku byly považovány za „nemožné“ nebo jen formální pomůcku, postupem času se však ukázalo, že komplexní čísla jsou plnohodnotným matematickým nástrojem s širokým spektrem aplikací.
Mezi hlavní oblasti použití patří:
- elektrotechnika a teorie obvodů (v praxi se místo i často používá písmeno j),
- signálové zpracování a Fourierova analýza,
- kvantová mechanika (vlnové funkce a operátory),
- teorie řízení a stabilita systémů,
- fraktály a komplexní dynamika (např. Mandelbrotova množina),
- řešení polynomických rovnic (fundamentální věta algebry říká, že každá nenulová polynomická rovnice s komplexními koeficienty má alespoň jedno komplexní řešení).
Poznámky a užitečné připomínky
- V elektrotechnice se místo i používá j, aby nedocházelo ke záměně s proudem (značeným i nebo I).
- Odmocnina z −1 je vícevýsledná (každé nenulové komplexní číslo má dvě komplexní odmocniny), proto se v praxi často pracuje s hlavním větvením (principal value) funkcí jako je komplexní logaritmus.
- Rozlišení mezi „imaginárním“ a „komplexním“ není o hodnotě „reálnosti“ — komplexní čísla jsou plnohodnotné objekty s přesnou algebraickou a geometrickou interpretací.
Imaginární jednotka tedy rozšiřuje reálná čísla do komplexní množiny a umožňuje řešit rovnice a popisovat jevy, které nelze vyjádřit pouze reálnými čísly. Díky tomu má zásadní roli jak v teoretické matematice, tak v praktických aplikacích vědy a techniky.
