Imaginární jednotka

V matematice jsou imaginární jednotky neboli i čísla, která lze reprezentovat rovnicemi, ale označují hodnoty, které by v reálném životě nemohly fyzicky existovat. Matematická definice imaginární jednotky je i = - 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}). $i={\sqrt {-1}}$ , která má vlastnost i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\krát i=i^{2}=-1} $i\times i=i^{2}=-1$ .

Důvodem vytvoření i byla odpověď na polynomickou rovnici x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0}. $x^{2}+1=0$ , která normálně nemá řešení, protože hodnota x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ by se musela rovnat -1. Přestože je úloha řešitelná, odmocninu z -1 by v reálném životě nebylo možné reprezentovat fyzikální veličinou žádného objektu.

Druhá odmocnina z i

Někdy se předpokládá, že pro zobrazení odmocniny z i je třeba vytvořit další číslo, ale to není nutné. Druhou odmocninu z i lze zapsat takto: i = ± 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)} ${\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$ .
To lze ukázat jako:

( ± 2 2 ( 1 + i ) ) 2 {\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ } $\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\$	= ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2 {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ } $=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	= ( ± 1 ) 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\ } $=(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\$
	= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\ } $=1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\$
	= 1 2 ( 2 i ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ } $={\frac {1}{2}}(2i)\$
	= i {\displaystyle =i\ } $=i\$

Mocniny i

Síly i mají předvídatelný průběh:

i - 3 = i {\displaystyle i^{-3}=i} $i^{-3}=i$

i - 2 = - 1 {\displaystyle i^{-2}=-1} $i^{-2}=-1$

i - 1 = - i {\displaystyle i^{-1}=-i} $i^{-1}=-i$

i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1} $i^{0}=1$

i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i} $i^{1}=i$

i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1} $i^{2}=-1$

i 3 = - i {\displaystyle i^{3}=-i} $i^{3}=-i$

i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1} $i^{4}=1$

i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i} $i^{5}=i$

i 6 = - 1 {\displaystyle i^{6}=-1} $i^{6}=-1$

To lze ukázat pomocí následujícího vzoru, kde n je libovolné celé číslo:

i 4 n = 1 {\displaystyle i^{4n}=1} $i^{4n}=1$

i 4 n + 1 = i {\displaystyle i^{4n+1}=i} $i^{4n+1}=i$

i 4 n + 2 = - 1 {\displaystyle i^{4n+2}=-1} $i^{4n+2}=-1$

i 4 n + 3 = - i {\displaystyle i^{4n+3}=-i} $i^{4n+3}=-i$

Související stránky

Otázky a odpovědi

Otázka: Co je imaginární jednotka?

Odpověď: Imaginární jednotka je číselná hodnota, která existuje pouze mimo reálná čísla a používá se v algebře.

Otázka: Jak imaginární jednotku používáme?

Odpověď: Imaginární jednotku vynásobíme reálným číslem a vytvoříme imaginární číslo.

Otázka: K čemu se imaginární čísla používají?

Odpověď: Imaginární čísla lze použít k řešení mnoha matematických problémů.

Otázka: Můžeme imaginární číslo znázornit pomocí reálných předmětů?

Odpověď: Ne, imaginární číslo nemůžeme znázornit reálnými předměty.

Otázka: Odkud pochází imaginární jednotka?

Odpověď: Imaginární jednotka pochází z matematiky a algebry.

Otázka: Je imaginární jednotka součástí reálných čísel?

Odpověď: Ne, existuje mimo oblast reálných čísel.

Otázka: Jak se imaginární číslo vypočítá? Odpověď: Imaginární číslo se vypočítá vynásobením reálného čísla imaginární jednotkou.