Matematickým základem speciální teorie relativity jsou Lorentzovy transformace, které matematicky popisují zobrazení prostoru a času pro dva pozorovatele, kteří se vůči sobě pohybují, ale nedochází u nich ke zrychlení.
K definici transformací používáme kartézský souřadnicový systém, který matematicky popisuje čas a prostor "událostí".
Každý pozorovatel může popsat událost jako polohu něčeho v prostoru v určitém čase pomocí souřadnic (x,y,z,t).
Poloha události je definována v prvních třech souřadnicích (x,y,z) vzhledem k libovolnému středu (0,0,0) tak, že (3,3,3) je úhlopříčka jdoucí 3 jednotky vzdálenosti (například metry nebo míle) v každém směru.
Čas události je popsán čtvrtou souřadnicí t vzhledem k libovolnému (0) bodu v čase v nějaké časové jednotce (např. vteřiny, hodiny nebo roky).
Nechť existuje pozorovatel K, který popisuje, kdy události nastanou, pomocí časové souřadnice t, a který popisuje, kde události nastanou, pomocí prostorových souřadnic x, y a z. Tím je matematicky definován první pozorovatel, jehož "úhel pohledu" bude naším prvním vztažným bodem.
Upřesněme, že čas události je dán: časem, kdy je pozorována t(pozorováno) (řekněme dnes ve 12 hodin), minus čas, za který pozorování dorazilo k pozorovateli.
Tu lze vypočítat jako vzdálenost pozorovatele od pozorované události d (řekněme, že událost je na hvězdě vzdálené 1 světelný rok, takže světlu trvá 1 rok, než dorazí k pozorovateli) dělenou c, rychlostí světla (několik milionů mil za hodinu), kterou definujeme jako stejnou pro všechny pozorovatele.
To je správně, protože vzdálenost vydělená rychlostí udává čas, za který tuto vzdálenost ujedete danou rychlostí (např. 30 mil děleno 10 mph: dá nám to 3 hodiny, protože když pojedete rychlostí 10 mph 3 hodiny, ujedete 30 mil). Takže máme:
t = d / c {\displaystyle t=d/c} 
Tím je matematicky definováno, co znamená jakýkoli "čas" pro jakéhokoli pozorovatele.
S těmito definicemi nechť existuje další pozorovatel K', který je
- pohybující se podél osy x K rychlostí v,
- má prostorový souřadnicový systém x' , y' a z' ,
kde osa x' je shodná s osou x a s osami y' a z' - "vždy rovnoběžná" s osami y a z.
To znamená, že když K' udává místo jako (3,1,2), x (což je v tomto příkladu 3) je stejné místo, o kterém by mluvil K, první pozorovatel, ale 1 na ose y nebo 2 na ose z jsou pouze rovnoběžné s nějakým místem v souřadném systému pozorovatele K' a
- kde K a K' se shodují v bodě t = t' = 0
To znamená, že souřadnice (0,0,0,0) je pro oba pozorovatele stejnou událostí.
Jinými slovy, oba pozorovatelé mají (přinejmenším) jeden čas a místo, na kterých se oba shodnou, což je místo a čas nula.
Lorentzovy transformace pak jsou
t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} 
x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} 
y ′ = y {\displaystyle y'=y} 
a
z ′ = z {\displaystyle z'=z}
.
Definujte událost, která má časoprostorové souřadnice (t,x,y,z) v systému S a (t′,x′,y′,z′) ve vztažném rámci pohybujícím se rychlostí v vzhledem k tomuto rámci, S′. Lorentzova transformace pak určuje, že tyto souřadnice spolu souvisejí následujícím způsobem: Lorentzův faktor a c je rychlost světla ve vakuu a rychlost v v systému S′ je rovnoběžná s osou x. Souřadnice y a z zůstávají pro zjednodušení nedotčeny; transformují se pouze souřadnice x a t. Tyto Lorentzovy transformace tvoří jednoparametrovou skupinu lineárních mapování, přičemž tento parametr se nazývá rychlost.
Řešením výše uvedených čtyř transformačních rovnic pro neprimární souřadnice získáme inverzní Lorentzovu transformaci:
t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}} 
Pokud tuto inverzní Lorentzovu transformaci provedeme tak, aby se shodovala s Lorentzovou transformací z primární do neprimární soustavy, zobrazí se neprimární rámec jako pohybující se rychlostí v′ = -v, měřenou v primárním rámci.
Na ose x není nic zvláštního. Transformace se může vztahovat na osu y nebo z, nebo dokonce v libovolném směru, což lze provést směry rovnoběžnými s pohybem (které jsou deformovány činitelem γ) a kolmými; podrobnosti viz článek Lorentzova transformace.
Veličina invariantní při Lorentzových transformacích se nazývá Lorentzův skalár.
Lorentzovu transformaci a její inverzní transformaci zapíšeme v termínech souřadnicových rozdílů, kde jedna událost má souřadnice (x1, t1) a (x′1, t′1), druhá událost má souřadnice (x2, t2) a (x′2, t′2) a rozdíly jsou definovány jako
Rovnice 1: Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ , Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ . {\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ , \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ . } 
Rovnice 2: Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 . {\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}\ , \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ . } 
dostaneme
Rovnice 3: Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , {\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ ,\ \ } 
Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t'=\gamma \ \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\ . } 
Rovnice 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , {\displaystyle \Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\ } 
Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t=\gamma \ \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ . } 
Vezmeme-li místo diferencí diferenciály, dostaneme.
Rovnice 5: d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ \ } 
d t ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) . {\displaystyle dt'=\gamma \ \left(dt-v\ dx/c^{2}\right)\ . } 
Rovnice 6: d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) , {\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\ } 
d t = γ ( d t ′ + v d x ′ / c 2 ) . {\displaystyle dt=\gamma \ \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\ . } 
