Speciální teorie relativity

Základy speciální teorie relativity

Předpokládejme, že se pohybujete směrem k něčemu, co se pohybuje směrem k vám. Pokud změříte jeho rychlost, bude se vám zdát, že se pohybuje rychleji, než kdybyste se nepohybovali. Nyní předpokládejme, že se pohybujete směrem od něčeho, co se pohybuje k vám. Pokud opět změříte rychlost, bude se vám zdát, že se pohybuje pomaleji. To je myšlenka "relativní rychlosti" - rychlosti objektu vzhledem k vám.

Před Albertem Einsteinem se vědci snažili změřit "relativní rychlost" světla. Dělali to tak, že měřili rychlost světla hvězd dopadajícího na Zemi. Předpokládali, že pokud se Země pohybuje směrem ke hvězdě, mělo by se světlo z této hvězdy zdát rychlejší, než když se Země od hvězdy vzdaluje. Všimli si však, že bez ohledu na to, kdo pokusy prováděl, kde je prováděl nebo jaké světlo hvězdy použil, byla naměřená rychlost světla ve vakuu vždy stejná.

Podle Einsteina se tak děje proto, že na délce a trvání, tedy na tom, jak dlouho něco trvá, je něco neočekávaného. Domníval se, že jak se Země pohybuje vesmírem, všechny měřitelné doby trvání se velmi mírně mění. Jakékoli hodiny použité k měření doby trvání se budou mýlit přesně o tolik, aby rychlost světla zůstala stejná. Představa "světelných hodin" nám umožňuje lépe pochopit tuto pozoruhodnou skutečnost pro případ jediné světelné vlny.

Einstein také řekl, že při pohybu Země vesmírem se všechny měřitelné délky mění (stále nepatrně). Jakýkoli přístroj měřící délku udává délku přesně o tolik, aby rychlost světla zůstala stejná.

Nejobtížnější je pochopit, že události, které se jeví jako simultánní v jednom rámci, nemusí být simultánní v jiném rámci. To má mnoho důsledků, které není snadné vnímat nebo pochopit. Protože délka objektu je vzdálenost od hlavy k ocasu v jednom simultánním okamžiku, vyplývá z toho, že pokud se dva pozorovatelé neshodnou na tom, jaké události jsou simultánní, pak to ovlivní (někdy dramaticky) jejich měření délky objektů. Dále, pokud se řada hodin jeví stacionárnímu pozorovateli jako synchronizovaná a po zrychlení na určitou rychlost se témuž pozorovateli jeví jako nesynchronizovaná, pak z toho vyplývá, že během zrychlení běžely hodiny různou rychlostí. Některé z nich mohou dokonce běžet pozpátku. Tato úvaha vede k obecné teorii relativity.

Jiní vědci před Einsteinem psali o tom, že světlo se zdá být stejně rychlé bez ohledu na to, jak je pozorováno. Einsteinova teorie se stala tak převratnou proto, že měření rychlosti světla považuje z definice za konstantní, jinými slovy je to přírodní zákon. Z toho vyplývá pozoruhodný důsledek, že měření související s rychlostí, délkou a trváním, se mění, aby se tomu přizpůsobila.

Lorentzovy transformace

Matematickým základem speciální teorie relativity jsou Lorentzovy transformace, které matematicky popisují zobrazení prostoru a času pro dva pozorovatele, kteří se vůči sobě pohybují, ale nedochází u nich ke zrychlení.

K definici transformací používáme kartézský souřadnicový systém, který matematicky popisuje čas a prostor "událostí".

Každý pozorovatel může popsat událost jako polohu něčeho v prostoru v určitém čase pomocí souřadnic (x,y,z,t).

Poloha události je definována v prvních třech souřadnicích (x,y,z) vzhledem k libovolnému středu (0,0,0) tak, že (3,3,3) je úhlopříčka jdoucí 3 jednotky vzdálenosti (například metry nebo míle) v každém směru.

Čas události je popsán čtvrtou souřadnicí t vzhledem k libovolnému (0) bodu v čase v nějaké časové jednotce (např. vteřiny, hodiny nebo roky).

Nechť existuje pozorovatel K, který popisuje, kdy události nastanou, pomocí časové souřadnice t, a který popisuje, kde události nastanou, pomocí prostorových souřadnic x, y a z. Tím je matematicky definován první pozorovatel, jehož "úhel pohledu" bude naším prvním vztažným bodem.

Upřesněme, že čas události je dán: časem, kdy je pozorována t_{(pozorováno) (}řekněme dnes ve 12 hodin), minus čas, za který pozorování dorazilo k pozorovateli.

Tu lze vypočítat jako vzdálenost pozorovatele od _pozorované události d (řekněme, že událost je na hvězdě vzdálené 1 světelný rok, takže světlu trvá 1 rok, než dorazí k pozorovateli) dělenou c, rychlostí světla (několik milionů mil za hodinu), kterou definujeme jako stejnou pro všechny pozorovatele.

To je správně, protože vzdálenost vydělená rychlostí udává čas, za který tuto vzdálenost ujedete danou rychlostí (např. 30 mil děleno 10 mph: dá nám to 3 hodiny, protože když pojedete rychlostí 10 mph 3 hodiny, ujedete 30 mil). Takže máme:

t = d / c {\displaystyle t=d/c}

Tím je matematicky definováno, co znamená jakýkoli "čas" pro jakéhokoli pozorovatele.

S těmito definicemi nechť existuje další pozorovatel K', který je

• pohybující se podél osy x K rychlostí v,
• má prostorový souřadnicový systém x' , y' a z' ,

kde osa x' je shodná s osou x a s osami y' a z' - "vždy rovnoběžná" s osami y a z.

To znamená, že když K' udává místo jako (3,1,2), x (což je v tomto příkladu 3) je stejné místo, o kterém by mluvil K, první pozorovatel, ale 1 na ose y nebo 2 na ose z jsou pouze rovnoběžné s nějakým místem v souřadném systému pozorovatele K' a

• kde K a K' se shodují v bodě t = t' = 0

To znamená, že souřadnice (0,0,0,0) je pro oba pozorovatele stejnou událostí.

Jinými slovy, oba pozorovatelé mají (přinejmenším) jeden čas a místo, na kterých se oba shodnou, což je místo a čas nula.

Lorentzovy transformace pak jsou

t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

y ′ = y {\displaystyle y'=y} a

z ′ = z {\displaystyle z'=z}.

Definujte událost, která má časoprostorové souřadnice (t,x,y,z) v systému S a (t′,x′,y′,z′) ve vztažném rámci pohybujícím se rychlostí v vzhledem k tomuto rámci, S′. Lorentzova transformace pak určuje, že tyto souřadnice spolu souvisejí následujícím způsobem: Lorentzův faktor a c je rychlost světla ve vakuu a rychlost v v systému S′ je rovnoběžná s osou x. Souřadnice y a z zůstávají pro zjednodušení nedotčeny; transformují se pouze souřadnice x a t. Tyto Lorentzovy transformace tvoří jednoparametrovou skupinu lineárních mapování, přičemž tento parametr se nazývá rychlost.

Řešením výše uvedených čtyř transformačních rovnic pro neprimární souřadnice získáme inverzní Lorentzovu transformaci:

t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}}

Pokud tuto inverzní Lorentzovu transformaci provedeme tak, aby se shodovala s Lorentzovou transformací z primární do neprimární soustavy, zobrazí se neprimární rámec jako pohybující se rychlostí v′ = -v, měřenou v primárním rámci.

Na ose x není nic zvláštního. Transformace se může vztahovat na osu y nebo z, nebo dokonce v libovolném směru, což lze provést směry rovnoběžnými s pohybem (které jsou deformovány činitelem γ) a kolmými; podrobnosti viz článek Lorentzova transformace.

Veličina invariantní při Lorentzových transformacích se nazývá Lorentzův skalár.

Lorentzovu transformaci a její inverzní transformaci zapíšeme v termínech souřadnicových rozdílů, kde jedna událost má souřadnice (x1, t1) a (x′1, t′1), druhá událost má souřadnice (x2, t2) a (x′2, t′2) a rozdíly jsou definovány jako

Rovnice 1: Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ , Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ . {\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ , \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ . }

Rovnice 2: Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 . {\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}\ , \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ . }

dostaneme

Rovnice 3: Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , {\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ ,\ \ } Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t'=\gamma \ \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\ . }

Rovnice 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , {\displaystyle \Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\ } Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t=\gamma \ \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ . }

Vezmeme-li místo diferencí diferenciály, dostaneme.

Rovnice 5: d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ \ } d t ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) . {\displaystyle dt'=\gamma \ \left(dt-v\ dx/c^{2}\right)\ . }

Rovnice 6: d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) , {\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\ } d t = γ ( d t ′ + v d x ′ / c 2 ) . {\displaystyle dt=\gamma \ \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\ . }

Hmotnost, energie a hybnost

Ve speciální teorii relativity jsou hybnost p {\displaystyle p} a celková energie E {\displaystyle E} objektu jako funkce jeho hmotnosti m {\displaystyle m} následující.

p = m v 1 - v 2 c 2 {\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

a

E = m c 2 1 - v 2 c 2 {\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}.

Častou chybou (i v některých knihách) je přepis této rovnice pomocí "relativistické hmotnosti" (ve směru pohybu) m r = m 1 - v 2 c 2 {\displaystyle m_{r}={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} . Důvodem, proč je to nesprávné, je to, že například světlo nemá hmotnost, ale má energii. Pokud použijeme tento vzorec, foton (částice světla) má hmotnost, což je podle experimentů nesprávné.

Ve speciální teorii relativity souvisí hmotnost, celková energie a hybnost objektu s rovnicí

E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 {\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}} .

Pro objekt v klidu je p = 0 {\displaystyle p=0}, takže výše uvedená rovnice se zjednodušuje na E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}}. . Z toho vyplývá, že hmotný objekt v klidu má stále energii. Tuto klidovou energii nazýváme E 0 {\displaystyle E_{0}} :

E 0 = m c 2 {\displaystyle E_{0}=mc^{2}} .

Historie

Potřeba speciální teorie relativity vyplynula z Maxwellových rovnic elektromagnetismu, které byly publikovány v roce 1865. Později se zjistilo, že podle nich se elektromagnetické vlny (například světlo) pohybují konstantní rychlostí (tj. rychlostí světla).

Aby byly rovnice Jamese Clerka Maxwella v souladu s astronomickými pozorováními^[1] i newtonovskou fyzikou,^[2] navrhl Maxwell v roce 1877, že světlo se šíří éterem, který je všude ve vesmíru.

V roce 1887 se slavný Michelson-Morleyho experiment pokusil detekovat "éterický vítr", který vzniká pohybem Země. ^[3] Trvale nulové výsledky tohoto experimentu fyziky zmátly a zpochybnily teorii éteru.

V roce 1895 si Lorentz a Fitzgerald všimli, že nulový výsledek Michelsonova a Morleyho experimentu lze vysvětlit tím, že éterový vítr smršťuje experiment ve směru pohybu éteru. Tento efekt se nazývá Lorentzova kontrakce a (bez éteru) je důsledkem speciální teorie relativity.

V roce 1899 Lorentz poprvé zveřejnil Lorentzovy rovnice. Ačkoli to nebylo jejich první zveřejnění, poprvé byly použity jako vysvětlení Michelsonova-Morleyho nulového výsledku, protože Lorentzova kontrakce je jejich důsledkem.

V roce 1900 pronesl Poincaré slavný projev, v němž se zamýšlel nad možností, že k vysvětlení Michelsonova a Morleyho experimentu je zapotřebí "nové fyziky".

V roce 1904 Lorentz ukázal, že elektrické a magnetické pole lze vzájemně modifikovat pomocí Lorentzových transformací.

V roce 1905 Einstein publikoval v časopise Annalen der Physik článek "On the Electrodynamics of Moving Bodies", v němž představil speciální teorii relativity. V tomto článku představil postuláty relativity, odvodil z nich Lorentzovy transformace a (aniž by znal Lorentzův článek z roku 1904) také ukázal, jak Lorentzovy transformace ovlivňují elektrické a magnetické pole.

Později, v roce 1905, Einstein publikoval další článek, ve kterém představil E = mc2.

V roce 1908 Max Planck podpořil Einsteinovu teorii a nazval ji "relativita". V témže roce Hermann Minkowski přednesl slavnou přednášku o prostoru a čase, v níž ukázal, že teorie relativity je autokonzistentní, a dále ji rozvinul. Tyto události přiměly fyzikální komunitu brát teorii relativity vážně. Relativita byla poté stále více přijímána.

V roce 1912 byli Einstein a Lorentz nominováni na Nobelovu cenu za fyziku za průkopnickou práci v oblasti teorie relativity. Bohužel relativita byla tehdy tak kontroverzní a zůstala kontroverzní tak dlouho, že Nobelova cena za ni nikdy nebyla udělena.

Experimentální potvrzení

• Michelsonův-Morleyho experiment, při kterém se nepodařilo zjistit rozdíl v rychlosti světla v závislosti na směru jeho pohybu.
• Fizeauův experiment, při kterém nelze dosáhnout toho, aby index lomu světla v pohybující se vodě byl menší než 1. Pozorované výsledky jsou vysvětleny relativistickým pravidlem pro sčítání rychlostí.
• Energie a hybnost světla se řídí rovnicí E = p c {\displaystyle E=pc} . (V newtonovské fyzice by to mělo být E = 1 2 p c {\displaystyle E={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}pc}.)
• Příčný dopplerův jev, při kterém je světlo vyzařované rychle se pohybujícím objektem červeně posunuto v důsledku dilatace času.
• Přítomnost mionů vytvořených v horních vrstvách atmosféry na povrchu Země. Problémem je, že i při téměř rychlosti světla trvá mnohem déle, než je poločas rozpadu mionů, než se dostanou na zemský povrch. Jejich přítomnost lze považovat buď za důsledek dilatace času (z našeho pohledu), nebo kontrakce délky vzdálenosti k zemskému povrchu (z pohledu mionů).
• Urychlovače částic nelze konstruovat bez zohlednění relativistické fyziky.

Související stránky

• Obecná relativita