Schrödingerova rovnice

Schrödingerova rovnice je diferenciální rovnice (typ rovnice, která zahrnuje neznámou funkci, nikoli neznámé číslo), která tvoří základ kvantové mechaniky, jedné z nejpřesnějších teorií chování subatomárních částic. Jedná se o matematickou rovnici, kterou v roce 1925 vymyslel Erwin Schrödinger. Definuje vlnovou funkci částice nebo systému (skupiny částic), která má v každém bodě v prostoru určitou hodnotu pro každý daný čas. Tyto hodnoty nemají žádný fyzikální význam (ve skutečnosti jsou matematicky složité), přesto vlnová funkce obsahuje všechny informace, které lze o částici nebo systému zjistit. Tyto informace lze zjistit matematickou manipulací s vlnovou funkcí, která vrátí reálné hodnoty vztahující se k fyzikálním vlastnostem, jako je poloha, hybnost, energie atd. Vlnovou funkci si lze představit jako obraz toho, jak se tato částice nebo systém chová v čase, a popisuje ji co nejúplněji.

Vlnová funkce může být v několika různých stavech najednou, a částice tak může mít současně mnoho různých poloh, energií, rychlostí nebo jiných fyzikálních vlastností (tj. "být na dvou místech najednou"). Když však jednu z těchto vlastností měříme, má pouze jednu konkrétní hodnotu (kterou nelze s určitostí předpovědět), a vlnová funkce se tedy nachází pouze v jednom konkrétním stavu. Tomuto jevu se říká kolaps vlnové funkce a zdá se, že je způsoben aktem pozorování nebo měření. O přesné příčině a interpretaci kolapsu vlnové funkce se ve vědecké komunitě stále vedou rozsáhlé diskuse.

Pro jednu částici, která se v prostoru pohybuje pouze jedním směrem, vypadá Schrödingerova rovnice takto:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)$

kde i {\displaystyle i} $i$ je druhá odmocnina z -1, ℏ {\displaystyle \hbar } $\hbar$ je redukovaná Planckova konstanta, t {\displaystyle t} $t$ je čas, x {\displaystyle x} je poloha, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,\,t)} $\Psi (x,\,t)$ je vlnová funkce a V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ je potenciální energie, dosud nezvolená funkce polohy. Levá strana je ekvivalentní Hamiltonovu operátoru energie působícímu na Ψ {\displaystyle \Psi }. $\Psi$ .

Busta Erwina Schrödingera na Vídeňské univerzitě. Zobrazuje také Schrödingerovu rovnici.

Časově nezávislá verze

Předpokládejme, že vlnová funkce Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} $\Psi (x,t)$ , je separovatelná, tj. za předpokladu, že funkci dvou proměnných lze zapsat jako součin dvou různých funkcí jedné proměnné:

Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\displaystyle \Psi (x,t)=\psi (x)T(t)} $\Psi (x,t)=\psi (x)T(t)$

pak lze pomocí standardních matematických technik parciálních diferenciálních rovnic ukázat, že vlnovou rovnici lze přepsat jako dvě různé diferenciální rovnice.

i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)} $i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)$

- ℏ 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)$

kde první rovnice závisí pouze na čase T ( t ) {\displaystyle T(t)} $T(t)$ a druhá rovnice závisí pouze na poloze ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} $\psi (x)$ a kde E {\displaystyle E} $E$ je pouze číslo. První rovnici lze vyřešit okamžitě a získáme následující výsledek

T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}} $T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}$

kde e {\displaystyle e} $e$ je Eulerovo číslo. Řešení druhé rovnice závisí na funkci potenciální energie V ( x ) {\displaystyle V(x)}. $V(x)$ , a proto je nelze řešit, dokud není tato funkce dána. Pomocí kvantové mechaniky lze ukázat, že číslo E {\displaystyle E} $E$ je vlastně energie systému, takže tyto oddělitelné vlnové funkce popisují systémy s konstantní energií. Protože v mnoha důležitých fyzikálních systémech (například: elektron v atomu) je energie konstantní, často se používá druhá rovnice z výše uvedené sady oddělených diferenciálních rovnic. Tato rovnice je známá jako časově nezávislá Schrödingerova rovnice, protože nezahrnuje t {\displayystyle t} $t$ .

Interpretace vlnové funkce

Interpretace Born

Existuje mnoho filozofických výkladů vlnové funkce a zde se budeme zabývat několika hlavními myšlenkami. Hlavní myšlenka, nazývaná Bornova pravděpodobnostní interpretace (pojmenovaná po fyzikovi Maxi Bornovi), vychází z jednoduché představy, že vlnová funkce je čtvercově integrovatelná, tj.

∫ - ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty$

Tento poměrně jednoduchý vzorec má velké fyzikální důsledky. Born vyslovil hypotézu, že výše uvedený integrál určuje, že částice existuje někde v prostoru. Jak ji však můžeme najít? Použijeme integrál

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle \int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)} $\int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)$

kde P ( b < x < a ) {\displaystyle P(b<x<a)} je pravděpodobnost $P(b<x<a)$ nalezení částice v oblasti od b {\displaystyle b} do a {\displaystyle $b$ a} . Jinými slovy, vše, co lze o částici obecně předem vědět, jsou pravděpodobnosti, průměry a další statistické veličiny spojené s jejími fyzikálními veličinami (poloha, hybnost atd.). V podstatě se jedná o Bornovu interpretaci.

Kodaňská interpretace

Výše uvedené myšlenky lze rozšířit. Protože Bornova interpretace říká, že skutečnou polohu částice nelze znát, můžeme odvodit následující. Jestliže Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\psi _{n}} $\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}$ jsou řešení vlnové rovnice, pak superpozice těchto řešení, tj.

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {\displaystyle \Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}} $\Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}$

je také řešením. To tedy znamená, že částice existuje ve všech možných polohách. Když přijde pozorovatel a změří polohu částice, pak se superpozice redukuje na jedinou možnou vlnovou funkci. (tj. Ψ s {\displaystyle \Psi _{s}}. $\Psi _{s}$ → Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}}. $\Psi _{n}$ kde Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ je některý z možných stavů vlnové funkce.) Z této myšlenky, že polohu částice nelze přesně určit a že částice existuje ve více polohách současně, vyplývá princip neurčitosti. Matematická formulace tohoto principu může být dána vztahem

Δ x Δ p > ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}} $\Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}$

Kde Δ x {\displaystyle \Delta x} $\Delta x$ je nejistota polohy a Δ p {\displaystyle \Delta p} $\Delta p$ je nejistota hybnosti. Tento princip lze matematicky odvodit z Fourierových transformací mezi hybností a polohou, jak je definuje kvantová mechanika, ale v tomto článku jej nebudeme odvozovat.

Další výklady

Existují různé další interpretace, například interpretace mnoha světů a kvantový determinismus.

Otázky a odpovědi

Otázka: Co je to Schrödingerova rovnice?

Odpověď: Schrödingerova rovnice je diferenciální rovnice, která tvoří základ kvantové mechaniky a kterou vymyslel Erwin Schrödinger v roce 1925. Definuje vlnovou funkci částice nebo systému, která má v každém bodě prostoru určitou hodnotu pro každý daný čas.

Otázka: Jakou informaci lze zjistit z manipulace s vlnovou funkcí?

Odpověď: Matematickou manipulací s vlnovou funkcí lze zjistit reálné hodnoty týkající se fyzikálních vlastností, jako je poloha, hybnost, energie atd.

Otázka: Co znamená, když částice může mít současně mnoho různých poloh, energií, rychlostí nebo jiných fyzikálních vlastností?

Odpověď: To znamená, že vlnová funkce může být v několika různých stavech najednou, a částice tak může mít mnoho různých poloh, energií, rychlostí nebo jiných fyzikálních vlastností současně (tj. "být na dvou místech najednou").

Otázka: Co je kolaps vlnové funkce?

Odpověď: Kolaps vlnové funkce znamená, že když je změřena jedna z těchto vlastností, má pouze jednu konkrétní hodnotu (kterou nelze s určitostí předpovědět), a vlnová funkce se tedy nachází pouze v jednom konkrétním stavu. Zdá se, že je to způsobeno aktem pozorování nebo měření.

Otázka: Jaké jsou některé složky Schrödingerovy rovnice?

Odpověď: Mezi složky Schrödingerovy rovnice patří i, které je rovno odmocnině -1; ℏ, které představuje redukovanou Planckovu konstantu; t, které znamená čas; x, které představuje polohu; Ψ (x , t), které znamená vlnovou funkci; a V(x), které představuje potenciální energii jako dosud nezvolenou funkci polohy.

Otázka: Jak interpretujeme kolaps vlnové funkce?

Odpověď: O přesné příčině a interpretaci kolapsu vlnové funkce se ve vědecké komunitě stále vedou rozsáhlé diskuse.