Schrödingerova rovnice: základ kvantové mechaniky a její význam

Předpokládejme, že vlnová funkce Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} , je separovatelná, tj. za předpokladu, že funkci dvou proměnných lze zapsat jako součin dvou různých funkcí jedné proměnné:

Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\displaystyle \Psi (x,t)=\psi (x)T(t)}

pak lze pomocí standardních matematických technik parciálních diferenciálních rovnic ukázat, že vlnovou rovnici lze přepsat jako dvě různé diferenciální rovnice.

i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)}

- ℏ 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)}

kde první rovnice závisí pouze na čase T ( t ) {\displaystyle T(t)} a druhá rovnice závisí pouze na poloze ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} a kde E {\displaystyle E} je pouze číslo. První rovnici lze vyřešit okamžitě a získáme následující výsledek

T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}}

kde e {\displaystyle e} je Eulerovo číslo. Řešení druhé rovnice závisí na funkci potenciální energie V ( x ) {\displaystyle V(x)}. , a proto je nelze řešit, dokud není tato funkce dána. Pomocí kvantové mechaniky lze ukázat, že číslo E {\displaystyle E} je vlastně energie systému, takže tyto oddělitelné vlnové funkce popisují systémy s konstantní energií. Protože v mnoha důležitých fyzikálních systémech (například: elektron v atomu) je energie konstantní, často se používá druhá rovnice z výše uvedené sady oddělených diferenciálních rovnic. Tato rovnice je známá jako časově nezávislá Schrödingerova rovnice, protože nezahrnuje t {\displayystyle t} .

Interpretace Born

Existuje mnoho filozofických výkladů vlnové funkce a zde se budeme zabývat několika hlavními myšlenkami. Hlavní myšlenka, nazývaná Bornova pravděpodobnostní interpretace (pojmenovaná po fyzikovi Maxi Bornovi), vychází z jednoduché představy, že vlnová funkce je čtvercově integrovatelná, tj.

∫ - ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty }

Tento poměrně jednoduchý vzorec má velké fyzikální důsledky. Born vyslovil hypotézu, že výše uvedený integrál určuje, že částice existuje někde v prostoru. Jak ji však můžeme najít? Použijeme integrál

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle \int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)}

kde P ( b < x < a ) {\displaystyle P(b<x<a)} je pravděpodobnost nalezení částice v oblasti od b {\displaystyle b} do a {\displaystyle a} . Jinými slovy, vše, co lze o částici obecně předem vědět, jsou pravděpodobnosti, průměry a další statistické veličiny spojené s jejími fyzikálními veličinami (poloha, hybnost atd.). V podstatě se jedná o Bornovu interpretaci.

Kodaňská interpretace

Výše uvedené myšlenky lze rozšířit. Protože Bornova interpretace říká, že skutečnou polohu částice nelze znát, můžeme odvodit následující. Jestliže Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\psi _{n}} jsou řešení vlnové rovnice, pak superpozice těchto řešení, tj.

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {\displaystyle \Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}}

je také řešením. To tedy znamená, že částice existuje ve všech možných polohách. Když přijde pozorovatel a změří polohu částice, pak se superpozice redukuje na jedinou možnou vlnovou funkci. (tj. Ψ s {\displaystyle \Psi _{s}}. → Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}}. kde Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} je některý z možných stavů vlnové funkce.) Z této myšlenky, že polohu částice nelze přesně určit a že částice existuje ve více polohách současně, vyplývá princip neurčitosti. Matematická formulace tohoto principu může být dána vztahem

Δ x Δ p > ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}}

Kde Δ x {\displaystyle \Delta x} je nejistota polohy a Δ p {\displaystyle \Delta p} je nejistota hybnosti. Tento princip lze matematicky odvodit z Fourierových transformací mezi hybností a polohou, jak je definuje kvantová mechanika, ale v tomto článku jej nebudeme odvozovat.

Další výklady

Existují různé další interpretace, například interpretace mnoha světů a kvantový determinismus.