Teorie pravděpodobnosti

Základní vlastnosti a definice

Pravděpodobnost události P(A) je reálné číslo s hodnotou mezi 0 a 1 (včetně). Příklady krajních hodnot: P(∅) = 0 pro nemožnou událost a P(Ω) = 1 pro jistou událost, kde Ω označuje celý vzorkovací prostor.

V klasickém (často učebnicovém) pojetí, pokud jsou všechny elementární výsledky stejně pravděpodobné, lze pravděpodobnost události A vyčíslit jako poměr počtu příznivých výsledků k celkovému počtu možných výsledků: P(A) = (počet příznivých výsledků) / (počet všech výsledků).

Moderní teorie pravděpodobnosti je formulována axiomaticky (Kolmogorov): pravděpodobnost je míra definovaná na σ-algebře podmnožin vzorkovacího prostoru, která je nenegativní, má P(Ω)=1 a je spočetně aditivní.

Pravidla pro kombinace událostí

• Komplement události A má pravděpodobnost P(A^c) = 1 − P(A).
• Pro sjednocení dvou událostí A a B platí P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Podmíněná pravděpodobnost: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), pokud P(B) > 0.
• Multiplikativní pravidlo: P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A). Pokud jsou A a B nezávislé, pak P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Příklady

Jednoduchý příklad je hod poctivou mincí: pokud mince nemá žádnou vnitřní přednost, pravděpodobnost padnutí jedné z obou stran je 1/2. V češtině se stranám mince obvykle říká „hlava“ a „panna“.

Při hodu kostkou (viz množném čísle) se u šestistěnné kostky předpokládá šest rovnoměrně pravděpodobných výsledků 1–6; pravděpodobnost každého konkrétního čísla je 1/6 a pravděpodobnost, že padne nějaké číslo z intervalu 1–6, je 1.

Při kombinaci více nezávislých pokusů (například několik hodů kostkou) se pro konkrétní pořadí výsledků pravděpodobnosti násobí. Pro dva nezávislé hody šestistěnnou kostkou je pravděpodobnost, že první hod bude 3 a druhý hod bude 5, rovna 1/6 × 1/6 = 1/36 (přibližně 0,02778). Pokud pořadí nerozlišujeme a stačí, aby se v obou hodech objevily čísla 3 a 5 v libovolném pořadí, pak je pravděpodobnost 2/36 = 1/18.

Pro tři nezávislé hody a konkrétní trojici například (3,5,2) je pravděpodobnost 1/6×1/6×1/6 = 1/216 (přibližně 0,00463).

Výpočet pravděpodobností a souvisejících veličin se provádí pomocí matematiky a teoretických principů. V praxi se často používají i metody statistické, numerické a simulační (např. Monte Carlo), zvláště když přímý výpočet není jednoduchý.

Další pojmy a výsledky

Mezi důležité pojmy patří očekávaná hodnota (střední hodnota), rozptyl a směrodatná odchylka, které kvantifikují střední chování a rozptyl náhodných veličin. Základní zákony teorie pravděpodobnosti zahrnují zákon velkých čísel (relates to frequencies approaching probabilities při velkém počtu opakování) a centrální mezní větu (o aproximaci součtu nezávislých náhodných veličin normálním rozdělením za určitých podmínek).

Různé přístupy k interpretaci pravděpodobnosti (klasický, častostní, bayesovský/epistemický) se liší tím, jak chápou význam samotné číselné hodnoty pravděpodobnosti a jak se k ní dochází v praxi.

Pravděpodobnost je široce používaná v mnoha oblastech, včetně statistiky, fyziky, informatiky, ekonomie, strojového učení nebo pojišťovnictví, vždy však platí, že přesné výsledky závisí na modelu, předpokladech o nezávislosti a na znalosti distribuce možných výsledků.

Pro více informací o obecných aplikacích viz stránku o aplikované matematice.