Fourierova transformace

Fourierova transformace je matematická funkce, kterou lze použít k nalezení základních frekvencí, z nichž se skládá signál nebo vlna. Například při přehrávání akordu lze zvukovou vlnu akordu vložit do Fourierovy transformace a zjistit, z jakých tónů se akord skládá. Výstup Fourierovy transformace se někdy nazývá frekvenční spektrum nebo rozdělení, protože zobrazuje spektrum frekvencí vstupu. Tato funkce má mnohostranné využití v kryptografii, oceánografii, strojovém učení, radiologii, kvantové fyzice a také při návrhu a vizualizaci zvuku.

Fourierova transformace funkce f ( x ) {\displayystyle f(x)} je dána vztahem

F ( α ) = ∫ - ∞ + ∞ f ( x ) e - 2 π i α x d x {\displaystyle F(\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-2\pi i\alpha x}dx}

α {\displaystyle \alpha } je frekvence

F ( α ) {\displaystyle F(\alpha )} je funkce Fourierovy transformace a vrací hodnotu, která vyjadřuje, jak převažující frekvence α {\displaystyle \alpha } je v původním signálu.

e - 2 π i α x {\displaystyle e^{-2\pi i\alfa x}} Představuje obtékání vstupní funkce f ( x ) {\displaystyle f(x)} kolem počátku v komplexní rovině s určitou frekvencí α {\displaystyle \alpha }

Inverzní Fourierova transformace je dána vztahem

f ( x ) = ∫ - ∞ + ∞ F ( α ) e + 2 π i x α d α {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(\alfa )e^{+2\pi ix\alfa }d\alfa }

Fourierova transformace ukazuje, jaké frekvence se v signálu nacházejí. Uvažujme například zvukovou vlnu, která obsahuje tři různé hudební tóny: Zhotovení grafu Fourierovy transformace této zvukové vlny (s frekvencí na ose x a intenzitou na ose y) ukáže vrchol na každé frekvenci, který odpovídá jedné z hudebních not.

Sčítáním kosinusů a sinusů s různými amplitudami a frekvencemi lze vytvořit mnoho signálů. Fourierova transformace zobrazuje amplitudy a fáze těchto kosinusů a sinusů v závislosti na jejich frekvencích.

Fourierova transformace je důležitá, protože mnoho signálů dává větší smysl, když jsou jejich frekvence odděleny. Ve výše uvedeném příkladu se zvukem není při pohledu na signál vzhledem k času zřejmé, že v signálu jsou tóny A, B a C. Mnoho systémů dělá různé věci s různými frekvencemi, takže tyto druhy systémů lze popsat podle toho, co dělají s jednotlivými frekvencemi. Příkladem je filtr, který blokuje vysoké frekvence.

Výpočet Fourierovy transformace vyžaduje znalost integrace a imaginárních čísel. K výpočtu Fourierovy transformace se kromě nejjednodušších signálů obvykle používají počítače. Rychlá Fourierova transformace je metoda, kterou počítače používají k rychlému výpočtu Fourierovy transformace.