Integrál

V počtech je integrál prostor pod grafem rovnice (někdy se říká "plocha pod křivkou"). Integrál je opakem derivace a je opakem diferenciálního počtu. Derivát je strmost (nebo "sklon"), jako rychlost změny, křivky. Slovo "integrál" lze použít také jako přídavné jméno s významem "související s celými čísly".

Symbol pro integraci v kalkulu je: ∫ {\displaystyle \int _{\,}^{\,}} $\int _{\,}^{\,}$ jako vysoké písmeno "S". Tento symbol poprvé použil Gottfried Wilhelm Leibniz, který jej použil jako stylizované "ſ". (summa, latinsky součet) pro označení součtu plochy, kterou pokrývá rovnice, například y = f(x).

Integrály a derivace jsou součástí oboru matematiky zvaného kalkulus. Spojení mezi nimi je velmi důležité a nazývá se základní věta kalkulu. Tato věta říká, že integrál lze obrátit derivací, podobně jako lze sčítání obrátit odčítáním.

Integrace pomáhá při násobení jednotek v problému. Například pokud je problém s rychlostí, ( vzdálenost čas ) {\displaystyle \left({\frac {\text{vzdálenost}}{\text{čas}}}\right)} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)$ , potřebuje odpověď pouze na vzdálenost, je jedním z řešení integrovat s ohledem na čas. To znamená, že násobením v čase zrušíme čas v ( vzdálenost čas ) × čas {\displaystyle \left({\frac {\text{vzdálenost}}{\text{čas}}}}\right)\times {\text{čas}}}. $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}$ . To se provádí sčítáním malých výseků grafu rychlosti. Šířka těchto plátků se blíží nule, ale jejich věčným sčítáním vznikne celek. Tomu se říká Riemannův součet.

Sečtením těchto řezů získáme rovnici, jejíž derivací je první rovnice. Integrály jsou jako způsob, jak ručně sčítat mnoho drobných věcí. Je to jako sčítání, což je sčítání 1 + 2 + 3 + 4..... + n {\displayystyle 1+2+3+4....+n} $1+2+3+4....+n$ . Rozdíl oproti integraci je v tom, že musíme sečíst i všechna desetinná čísla a zlomky mezi nimi.

Integrace je užitečná také při zjišťování objemu tělesa. Dokáže sčítat dvourozměrné (bez šířky) řezy tělesa dohromady donekonečna, dokud není šířka. To znamená, že objekt má nyní tři rozměry: původní dva a šířku. Tím získáme objem popsaného trojrozměrného objektu.

Integrace spočívá v nalezení plochy s, která je dána a, b a y = f(x). Vzorec pro integrál z a do b, vynesený do grafu výše, je:
Vzorec: ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Co je integrál (animace)

Metody integrace

Antiderivát

Podle základní věty kalkulu je integrál antiderivátem.

Vezmeme-li funkci 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ a antidiferencujeme ji, můžeme říci, že integrál funkce 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ je x 2 {\displaystyle x^{2}}. $x^{2}$ . Říkáme integrál, nikoliv integrál, protože antiderivát funkce není jednoznačný. Například x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17} $x^{2}+17$ se také diferencuje na 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ . Z tohoto důvodu je třeba při výpočtu antiderivátu přičíst konstantu C. Tomu se říká neurčitý integrál. Je to proto, že při hledání derivace funkce se konstanty rovnají 0, jako v případě funkce

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} $f(x)=5x^{2}+9x+15\,$ .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} $f'(x)=10x+9+0\,$ . Všimněte si té 0: nemůžeme ji najít, pokud máme pouze derivaci, takže integrál je

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} $\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$ .

Jednoduché rovnice

Jednoduchou rovnici, jako je y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} $y=x^{2}$ , lze integrovat vzhledem k x pomocí následující techniky. Integrujete tak, že k mocnině, na kterou je x zvýšeno, přičtete 1 a pak x vydělíte hodnotou této nové mocniny. Integrace normální rovnice se tedy řídí tímto pravidlem: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C} $\int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

Údaj d x {\displaystyle dx} $dx$ na konci ukazuje, že integrujeme vzhledem k x, tj. při změně x. To lze považovat za inverzní diferenciaci. Při integrování se však přidává konstanta C. Ta se nazývá integrační konstanta. Je to nutné, protože výsledkem diferencování celého čísla je nula, proto při integrování nuly (kterou lze dosadit na konec libovolného integrálu) vznikne celé číslo C. Hodnotu tohoto celého čísla bychom zjistili pomocí daných podmínek.

Rovnice s více než jedním členem se jednoduše integrují integrací každého jednotlivého členu:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C} $\int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C$

Integrace zahrnující e a ln

Pro integrování pomocí e a přirozeného logaritmu platí určitá pravidla. Nejdůležitější je, že e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ je integrál sebe sama (s přidáním integrační konstanty): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C} $\int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C$

Přirozený logaritmus, ln, je užitečný při integrování rovnic s 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ . Ty nelze integrovat podle výše uvedeného vzorce (přičíst jedničku k mocnině, dělit mocninou), protože přičtením jedničky k mocnině vznikne 0 a dělení 0 není možné. Místo toho je integrál 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ ln x {\displaystyle \ln x} $\ln x$ : ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

V obecnější podobě: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C$

Dvě svislé čárky označují absolutní hodnotu; znaménko (kladné nebo záporné) f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) se ignoruje. Je to proto, že pro přirozený logaritmus záporných čísel neexistuje žádná hodnota.

Vlastnosti

Součet funkcí

Integrál součtu funkcí je součtem integrálů jednotlivých funkcí, tj,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$ .

Důkaz je jednoduchý: Definice integrálu je limitou součtů. Tedy

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

Všimněte si, že oba integrály mají stejné limity.

Konstanty při integraci

Pokud je v integrálu s funkcí konstanta, lze ji vyjmout. Dále, když konstanta c není doprovázena funkcí, její hodnota je c * x. To znamená,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ a

To lze provést pouze pomocí konstanty.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)} $\int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

Důkaz opět provedeme pomocí definice integrálu.

Další

Pokud jsou body a, b a c v pořadí (tj. za sebou na ose x), integrál f(x) z bodu a do bodu b plus integrál f(x) z bodu b do c se rovná integrálu z bodu a do c. To znamená,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx$ pokud jsou v pořadí. (To platí i tehdy, když a, b, c nejsou v pořadí, pokud definujeme ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ .)

∫ a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0} $\int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0$ . To vyplývá ze základní věty kalkulu (FTC): F(a)-F(a)=0.

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ Opět podle FTC: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]} $F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]$

Otázky a odpovědi

Otázka: Co je to integrál?

Odpověď: Integrál je prostor pod grafem rovnice, známý také jako "plocha pod křivkou". Je opakem derivace a součástí odvětví matematiky zvaného kalkulus.

Otázka: Jak vypadá symbol pro integraci?

Odpověď: Symbol pro integraci v kalkulu vypadá jako velké písmeno "S": ∫ {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}}.

Otázka: Jak souvisí integrály s derivacemi?

Odpověď: Integrály a derivace jsou spojeny základní větou kalkulu, která říká, že integrál lze zvrátit derivací, podobně jako lze sčítání zvrátit odčítáním.

Otázka: Kdy můžeme použít integraci?

Odpověď: Integraci lze použít při násobení jednotek v úloze nebo při zjišťování objemu tělesa. Pomáhá sčítat dvourozměrné řezy dohromady, dokud není šířka, čímž objekt získá tři rozměry a svůj objem.

Otázka: V čem je integrace podobná sčítání?

Odpověď: Integrace je podobná sčítání v tom, že sčítá mnoho drobných věcí dohromady, ale při integraci musíme sčítat i všechna desetinná čísla a zlomky mezi nimi.

Otázka: Co znamená Riemannův součet?

A: Riemannův součet znamená sčítání malých výseků grafu míry dohromady, dokud se nesečtou a nevytvoří jednu celou rovnici.