Integrál

Antiderivát

Podle základní věty kalkulu je integrál antiderivátem.

Vezmeme-li funkci 2 x {\displaystyle 2x} a antidiferencujeme ji, můžeme říci, že integrál funkce 2 x {\displaystyle 2x} je x 2 {\displaystyle x^{2}}. . Říkáme integrál, nikoliv integrál, protože antiderivát funkce není jednoznačný. Například x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17} se také diferencuje na 2 x {\displaystyle 2x} . Z tohoto důvodu je třeba při výpočtu antiderivátu přičíst konstantu C. Tomu se říká neurčitý integrál. Je to proto, že při hledání derivace funkce se konstanty rovnají 0, jako v případě funkce

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} . Všimněte si té 0: nemůžeme ji najít, pokud máme pouze derivaci, takže integrál je

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} .

Jednoduché rovnice

Jednoduchou rovnici, jako je y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}}, lze integrovat vzhledem k x pomocí následující techniky. Integrujete tak, že k mocnině, na kterou je x zvýšeno, přičtete 1 a pak x vydělíte hodnotou této nové mocniny. Integrace normální rovnice se tedy řídí tímto pravidlem: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}

Údaj d x {\displaystyle dx} na konci ukazuje, že integrujeme vzhledem k x, tj. při změně x. To lze považovat za inverzní diferenciaci. Při integrování se však přidává konstanta C. Ta se nazývá integrační konstanta. Je to nutné, protože výsledkem diferencování celého čísla je nula, proto při integrování nuly (kterou lze dosadit na konec libovolného integrálu) vznikne celé číslo C. Hodnotu tohoto celého čísla bychom zjistili pomocí daných podmínek.

Rovnice s více než jedním členem se jednoduše integrují integrací každého jednotlivého členu:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C}

Integrace zahrnující e a ln

Pro integrování pomocí e a přirozeného logaritmu platí určitá pravidla. Nejdůležitější je, že e x {\displaystyle e^{x}} je integrál sebe sama (s přidáním integrační konstanty): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C}

Přirozený logaritmus, ln, je užitečný při integrování rovnic s 1 / x {\displaystyle 1/x} . Ty nelze integrovat podle výše uvedeného vzorce (přičíst jedničku k mocnině, dělit mocninou), protože přičtením jedničky k mocnině vznikne 0 a dělení 0 není možné. Místo toho je integrál 1 / x {\displaystyle 1/x} ln x {\displaystyle \ln x} : ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C}

V obecnější podobě: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C}

Dvě svislé čárky označují absolutní hodnotu; znaménko (kladné nebo záporné) f ( x ) {\displaystyle f(x)} se ignoruje. Je to proto, že pro přirozený logaritmus záporných čísel neexistuje žádná hodnota.

Součet funkcí

Integrál součtu funkcí je součtem integrálů jednotlivých funkcí, tj,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} .

Důkaz je jednoduchý: Definice integrálu je limitou součtů. Tedy

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)}

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})}

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})}

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx}

Všimněte si, že oba integrály mají stejné limity.

Konstanty při integraci

Pokud je v integrálu s funkcí konstanta, lze ji vyjmout. Dále, když konstanta c není doprovázena funkcí, její hodnota je c * x. To znamená,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} a

To lze provést pouze pomocí konstanty.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)}

Důkaz opět provedeme pomocí definice integrálu.

Další

Pokud jsou body a, b a c v pořadí (tj. za sebou na ose x), integrál f(x) z bodu a do bodu b plus integrál f(x) z bodu b do c se rovná integrálu z bodu a do c. To znamená,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx} pokud jsou v pořadí. (To platí i tehdy, když a, b, c nejsou v pořadí, pokud definujeme ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} .)

∫ a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0} . To vyplývá ze základní věty kalkulu (FTC): F(a)-F(a)=0.

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} Opět podle FTC: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]}