Antidiferenciace (neurčitá integrace) – antiderivace, definice a příklady
Antidiferenciace (neurčitá integrace): srozumitelná definice antiderivací a praktické příklady krok za krokem pro studenty i samouky.
Antidiferenciace (nazývaná také neurčitá integrace) je operace v matematice, která je opačná k diferenciaci. Pro danou funkci f(x) hledáme funkci F(x) takovou, že F'(x) = f(x). Taková funkce F se nazývá antiderivace nebo antiderivát.
Antideriváty často vypovídají o velikosti. Antidiferenciace se provádí na funkcích a výrazech, například v rovnicích, a výsledkem je funkce (antiderivát), která sama o sobě může být zapsána jako jiný typ rovnice. Antidiferenciace je podobná integraci, ale bez horních a dolních mezí, proto se jí říká neurčitá.
Antiderivát se často zapisuje pomocí symbolu integrálu, např. ∫ x d x {\displaystyle \int x\ dx}. 
Definice a základní vlastnosti
Definice: Funkce F(x) je antiderivací funkce f(x) na jistém intervalu, jestliže pro všechna x v tom intervalu platí F'(x) = f(x).
- Nejednoznačnost: Antiderivát je určen pouze do konstanty. Pokud F je antiderivát f, pak všechny antideriváty mají tvar F(x) + C, kde C je libovolná konstanta (tzv. konstanta integrace).
- Lineárnost: ∫(a f(x) + b g(x)) dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx pro konstanty a, b.
- Vztah k určitým integrálům: Pokud F je antiderivát f, potom určitý integrál z f od a do b je F(b) − F(a) (základní věta integrálního počtu).
Základní vzorce antiderivací
- ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C, pro n ≠ −1
- ∫ 1/x dx = ln|x| + C
- ∫ e^{ax} dx = (1/a) e^{ax} + C, pokud a ≠ 0
- ∫ sin x dx = −cos x + C
- ∫ cos x dx = sin x + C
- ∫ sec^2 x dx = tan x + C
- ∫ 1/(1+x^2) dx = arctan x + C
Metody výpočtu
- Substituce (change of variable): Použijeme, když integrand obsahuje složenou funkci; volíme u = g(x), vyjádříme dx a integrand v novém proměnném.
- Per partes (integrace po částech): ∫ u dv = u v − ∫ v du; vhodné pro součin funkcí (např. polynom × exponenciála nebo polynom × goniometrická funkce).
- Racionalizace a rozklad na parciální zlomky: Používá se pro racionální funkce (poměr polynomů).
- Tabulkové integrály: Použití známých vzorců a lineárnosti pro kombinace jednoduchých členů.
Příklady
Příklad 1: ∫ x dx.
Použijeme vzorec pro mocninu (n = 1): ∫ x dx = x^2/2 + C.
Příklad 2 (substituce): ∫ (2x)/(x^2 + 1) dx.
Nechť u = x^2 + 1 ⇒ du = 2x dx. Integrál se změní na ∫ du/u = ln|u| + C = ln(x^2 + 1) + C.
Příklad 3 (per partes): ∫ x cos x dx.
Volíme u = x ⇒ du = dx, dv = cos x dx ⇒ v = sin x. Pak ∫ x cos x dx = u v − ∫ v du = x sin x − ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C.
Příklad 4: ∫ e^{3x} dx = (1/3) e^{3x} + C.
Tipy a poznámky
- Nezapomeňte vždy přidat konstantu integrace C u neurčitých integrálů.
- Kontrolou výsledku je diferenciace: růžnice (derivace) získané antiderivace by měla dát původní integrand.
- Pokud integrand obsahuje komplikovanou kombinaci funkcí, zkuste nejprve vhodnou substituci nebo rozklad na jednodušší členy.
Antidiferenciace je tedy centrální nástroj v integrálním počtu: umožňuje najít funkce, jejichž derivace jsou známy, a poskytuje spojení k výpočtu určitého integrálu pomocí antiderivace.
Jednoduchá integrace
Chcete-li integrovat a x n {\displaystyle ax^{n}} 
- Přičtěte 1 na mocninu n {\displaystyle n}
takže a x n {\displaystyle ax^{n}} je nyní a x n + 1 {\displaystyle ax^{n+1}}. 
- Vše vydělte novou mocninou, takže nyní je to a x n + 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}.
- Přidejte konstantu c {\displaystyle c}
, takže nyní je to a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c} 
To lze znázornit jako:
∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}}{n+1}}+c} 
Pokud je x {\displaystyle x} 
členů mnoho, integrujte každou část samostatně:
∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c} 
(To funguje pouze v případě, že se části přidávají nebo odebírají.)
Příklady
∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c} 
∫ x + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}}+c} 
∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c} 
Změna zlomků a kořenů na mocniny to usnadňuje:
∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c} 
∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}} dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c} 
Integrace závorky ("řetězové pravidlo")
Pokud chcete integrovat závorku typu ( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}} 
, musíme to udělat jiným způsobem. Říká se mu řetězové pravidlo. Podobá se jednoduchému integrování. Funguje pouze v případě, že x {\displaystyle x} v závorce má mocninu 1 (je lineární), například x {\displaystyle x} nebo 5 x {\displaystyle 5x}. 
(nikoli x 5 {\displaystyle x^{5}} 
nebo x - 7 {\displaystyle x^{-7}} 
).
Provedení ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx} 
- Přičtěte 1 k mocnině 3 {\displaystyle 3}
, takže nyní je to ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle (2x+4)^{4}}. 
- Vydělte vše novou mocninou a získáte ( 2 x + 4 ) 4 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}}
- To vše vydělte derivací závorky ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)}
abychom dostali ( 2 x + 4 ) 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\krát 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}}. 
- Přidáním konstanty c {\displaystyle c} získáme 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}
Příklady
∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\krát 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\levice(\protože {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\pravice)} 
∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}} dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\protože {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)} 
Související stránky
Otázky a odpovědi
Otázka: Co je to antidiferenciace?
Odpověď: Antidiferenciace (nazývaná také neurčitá integrace) je proces hledání určité funkce v matematice. Je opakem diferenciace a zahrnuje zpracování funkce tak, aby vznikla jiná funkce (nebo třída funkcí), která se nazývá antiderivát.
Otázka: Jak se znázorňuje?
Odpověď: Pokud jsou antideriváty znázorněny jednotlivými písmeny, mají často podobu velkých římských písmen, například F a G. Obecně se antiderivát zapisuje ve tvaru ∫f(x) dx.
Otázka: Co obnáší antidiferenciace?
Odpověď: Antidiferenciace zahrnuje zpracování funkce tak, aby vznikla jiná funkce (nebo třída funkcí), která se nazývá antiderivát.
Otázka: Jak se liší od integrace?
Odpověď: Antidiferenciace se od integrace liší tím, že nezahrnuje limity - proto se označuje jako neurčitá integrace.
Otázka: Jaké jsou příklady vyjádření antidiferenciace?
Odpověď: Mezi příklady, jak lze vyjádřit antidiferenciaci, patří F a G, pokud jsou znázorněny jako jednotlivá písmena, nebo ∫f(x) dx, pokud jsou zapsány v obecném tvaru.
Vyhledávání