Antidiferenciace (neurčitá integrace) – antiderivace, definice a příklady

Chcete-li integrovat a x n {\displaystyle ax^{n}}

• Přičtěte 1 na mocninu n {\displaystyle n} takže a x n {\displaystyle ax^{n}} je nyní a x n + 1 {\displaystyle ax^{n+1}}.
• Vše vydělte novou mocninou, takže nyní je to a x n + 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}.
• Přidejte konstantu c {\displaystyle c} , takže nyní je to a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

To lze znázornit jako:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}}{n+1}}+c}

Pokud je x {\displaystyle x} členů mnoho, integrujte každou část samostatně:

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c}

(To funguje pouze v případě, že se části přidávají nebo odebírají.)

Příklady

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c}

∫ x + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}}+c}

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}

Změna zlomků a kořenů na mocniny to usnadňuje:

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}} dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c}

Pokud chcete integrovat závorku typu ( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}} , musíme to udělat jiným způsobem. Říká se mu řetězové pravidlo. Podobá se jednoduchému integrování. Funguje pouze v případě, že x {\displaystyle x} v závorce má mocninu 1 (je lineární), například x {\displaystyle x} nebo 5 x {\displaystyle 5x}. (nikoli x 5 {\displaystyle x^{5}} nebo x - 7 {\displaystyle x^{-7}} ).

Provedení ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx}

• Přičtěte 1 k mocnině 3 {\displaystyle 3} , takže nyní je to ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle (2x+4)^{4}}.
• Vydělte vše novou mocninou a získáte ( 2 x + 4 ) 4 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}}
• To vše vydělte derivací závorky ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)} abychom dostali ( 2 x + 4 ) 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\krát 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}}.
• Přidáním konstanty c {\displaystyle c} získáme 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}

Příklady

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\krát 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\levice(\protože {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\pravice)}

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}} dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\protože {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}

• Matematika
• Integrální