Derivát (matematika)
V matematice se derivací vyjadřuje rychlost změny, tedy velikost změny funkce v daném bodě. U funkcí, které působí na reálná čísla, je to sklon tečné čáry v daném bodě grafu. Derivace se často zapisuje pomocí "dy nad dx" (což znamená rozdíl y dělený rozdílem x). D není proměnná, a proto ji nelze zrušit.
Funkce (černá) a tečna (červená). Derivace v bodě je sklon tečny.
Definice derivátu
Derivace y vzhledem k x je definována jako změna y vzhledem ke změně x, protože vzdálenost mezi x 0 {\displaystyle x_{0}} a x 1 {\displaystyle x_{1}} je nekonečně malá (infinitesimální). Matematicky řečeno,
f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h {\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}
To znamená, že čím více se vzdálenost mezi dvěma body x (h) blíží nule, tím více se sklon přímky mezi nimi podobá tečně.
Animace, která dává intuitivní představu o derivaci, jak se "houpačka" funkce mění při změně argumentu.
Deriváty funkcí
Lineární funkce
Deriváty lineárních funkcí (funkce tvaru a x + b {\displaystyle ax+b} bez kvadratických nebo vyšších členů) jsou konstantní. To znamená, že derivace v jednom místě grafu zůstane na jiném místě stejná.
Pokud závislá proměnná y {\displaystyle y} přímo přebírá hodnotu x {\displaystyle x} 'y = x {\displaystyle y=x} ), je sklon přímky ve všech místech roven 1, takže d d x ( x ) = 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x)=1} bez ohledu na to, kde se nachází.
Když y {\displaystyle y} změní číslo x {\displaystyle x} 'přičtením nebo odečtením konstantní hodnoty, sklon je stále 1, protože změna x {\displaystyle x} a y {\displaystyle y} se nemění, pokud je graf posunut nahoru nebo dolů. To znamená, že sklon je v celém grafu stále 1 a jeho derivace je také 1.
Výkonové funkce
Mocninné funkce (např. x a {\displaystyle x^{a}} ) se chovají jinak než lineární funkce, protože jejich sklon se mění (protože mají exponent).
Mocninné funkce se obecně řídí pravidlem, že d d x x a = a x a - 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}} . To znamená, že když dáme a číslo 6, pak d d x x 6 = 6 x 5 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{6}=6x^{5}}}.
Dalším možná ne tak zřejmým příkladem je funkce f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} . Jedná se v podstatě o totéž, protože 1/x lze zjednodušit na použití exponentů:
f ( x ) = 1 x = x - 1 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}=x^{-1}}
f ′ ( x ) = - 1 ( x - 2 ) {\displaystyle f'(x)=-1(x^{-2})}
f ′ ( x ) = - 1 x 2 {\displaystyle f'(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}}
Kromě toho lze kořeny změnit tak, že se použijí zlomkové exponenty, u nichž lze najít jejich derivaci:
f ( x ) = x 2 3 = x 2 3 {\displaystyle f(x)={\sqrt[{3}]{x^{2}}}=x^{\frac {2}{3}}}}
f ′ ( x ) = 2 3 ( x - 1 3 ) {\displaystyle f'(x)={\frac {2}{3}}}(x^{-{\frac {1}{3}}})}
Exponenciální funkce
Exponenciála má tvar a b f ( x ) {\displaystyle ab^{f\left(x\right)}} , kde a {\displaystyle a} a b {\displaystyle b} jsou konstanty a f ( x ) {\displaystyle f(x)} je funkce x {\displaystyle x} . Rozdíl mezi exponenciálou a polynomem je ten, že v polynomu je x {\displaystyle x} zvýšeno na nějakou mocninu, zatímco v exponenciále je x {\displaystyle x} v mocnině.
Příklad 1
d d x ( a b f ( x ) ) = a b f ( x ) ⋅ f ′ ( x ) ⋅ ln ( b ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(ab^{f\left(x\right)}\right)=ab^{f(x)}\cdot f'\left(x\right)\cdot \ln(b)}
Příklad 2
Najděte d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(3\cdot 2^{3{x^{2}}}\right)} .
a = 3 {\displaystyle a=3}
b = 2 {\displaystyle b=2}
f ( x ) = 3 x 2 {\displaystyle f\left(x\right)=3x^{2}}
f ′ ( x ) = 6 x {\displaystyle f'\left(x\right)=6x}
Proto,
d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) = 3 ⋅ 2 3 x 2 ⋅ 6 x ⋅ ln ( 2 ) = ln ( 2 ) ⋅ 18 x ⋅ 2 3 x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(3\cdot 2^{3x^{2}}\right)=3\cdot 2^{3x^{2}}\cdot 6x\cdot \ln \left(2\right)=\ln \left(2\right)\cdot 18x\cdot 2^{3x^{2}}}.
Logaritmické funkce
Derivátem logaritmů je reciproká hodnota:
d d x ln ( x ) = 1 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}} .
Vezměme například d d x ln ( 5 x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \left({\frac {5}{x}}\right)} . To lze redukovat na (podle vlastností logaritmů):
d d x ( ln ( 5 ) ) - d d x ( ln ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\ln(5))-{\frac {d}{dx}}(\ln(x))}
Logaritmus 5 je konstanta, takže jeho derivace je 0. Derivace ln(x) je 1 x {\displaystyle {\frac {1}{x}}} . Takže,
0 - d d x ln ( x ) = - 1 x {\displaystyle 0-{\frac {d}{dx}}\ln(x)=-{\frac {1}{x}}})
Pro derivace logaritmů, které nejsou v základu e, jako je d d x ( log 10 ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\log _{10}(x))} , to lze redukovat na: d d x log 10 ( x ) = d d x ln x ln 10 = 1 ln 10 d d x ln x = 1 x ln ( 10 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{10}(x)={\frac {d}{dx}}{\frac {\ln {x}}{\ln {10}}}={\frac {1}{\ln {10}}}{\frac {d}{dx}}\ln {x}={\frac {1}{x\ln(10)}}}.
Trigonometrické funkce
Funkce kosinus je derivací funkce sinus, zatímco derivace kosinusu je záporný sinus (za předpokladu, že x se měří v radiánech):
d d x sin ( x ) = cos ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)}
d d x cos ( x ) = - sin ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}
d d x sec ( x ) = sec ( x ) tan ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec(x)=\sec(x)\tan(x)} .
Vlastnosti derivátů
Deriváty lze rozdělit na menší části, pokud je lze zvládnout (protože mají například pouze jednu z výše uvedených funkčních charakteristik):
d d x ( 3 x 6 + x 2 - 6 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(3x^{6}+x^{2}-6)} lze rozložit takto:
d d x ( 3 x 6 ) + d d x ( x 2 ) - d d x ( 6 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(3x^{6})+{\frac {d}{dx}}(x^{2})-{\frac {d}{dx}}(6)}
= 6 ⋅ 3 x 5 + 2 x - 0 {\displaystyle =6\cdot 3x^{5}+2x-0}
= 18 x 5 + 2 x {\displaystyle =18x^{5}+2x\,}
Použití derivátů
Derivát funkce lze použít k hledání maxim a minim funkce tak, že se vyhledají místa, kde je její sklon nulový.
Derivace se používají v Newtonově metodě, která pomáhá najít nuly (kořeny) funkce.
Derivát může určovat rostoucí nebo klesající a konkávnost
Otázky a odpovědi
Otázka: Co je to derivát?
Odpověď: Derivát je způsob, jak znázornit okamžitou rychlost změny neboli velikost, o kterou se funkce mění v jednom daném bodě.
Otázka: Jak se obvykle zapisuje?
O: Obvykle se zapisuje jako "dy nad dx" nebo "dy na dx", což znamená rozdíl y dělený rozdílem x. Další běžný zápis je f'(x), což znamená derivaci funkce f v bodě x.
Otázka: Je d proměnná?
Odpověď: Ne, d není proměnná a nelze ji zrušit.
Otázka: Co v tomto kontextu představuje "f"?
Odpověď: V tomto kontextu představuje "f" funkci.
Otázka: Co v tomto kontextu představuje 'x'?
O: V tomto kontextu představuje "x" bod na grafu.
Otázka: Co v tomto kontextu představuje "y"?
O: V tomto kontextu představuje "y" sklon tečné čáry v daném bodě grafu.
Otázka: Jak můžete přečíst "f'(x)"? Odpověď: "f'(x)" můžete číst jako "f prvočíslo x".