Derivace v matematice: definice, význam a příklady

Derivace y vzhledem k x je definována jako změna y vzhledem ke změně x, protože vzdálenost mezi x 0 {\displaystyle x_{0}} a x 1 {\displaystyle x_{1}} je nekonečně malá (infinitesimální). Matematicky řečeno,

f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h {\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}

To znamená, že čím více se vzdálenost mezi dvěma body x (h) blíží nule, tím více se sklon přímky mezi nimi podobá tečně.

Lineární funkce

Deriváty lineárních funkcí (funkce tvaru a x + b {\displaystyle ax+b} bez kvadratických nebo vyšších členů) jsou konstantní. To znamená, že derivace v jednom místě grafu zůstane na jiném místě stejná.

Pokud závislá proměnná y {\displaystyle y} přímo přebírá hodnotu x {\displaystyle x} 'y = x {\displaystyle y=x} ), je sklon přímky ve všech místech roven 1, takže d d x ( x ) = 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x)=1} bez ohledu na to, kde se nachází.

Když y {\displaystyle y} změní číslo x {\displaystyle x} 'přičtením nebo odečtením konstantní hodnoty, sklon je stále 1, protože změna x {\displaystyle x} a y {\displaystyle y} se nemění, pokud je graf posunut nahoru nebo dolů. To znamená, že sklon je v celém grafu stále 1 a jeho derivace je také 1.

Výkonové funkce

Mocninné funkce (např. x a {\displaystyle x^{a}} ) se chovají jinak než lineární funkce, protože jejich sklon se mění (protože mají exponent).

Mocninné funkce se obecně řídí pravidlem, že d d x x a = a x a - 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}} . To znamená, že když dáme a číslo 6, pak d d x x 6 = 6 x 5 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{6}=6x^{5}}}.

Dalším možná ne tak zřejmým příkladem je funkce f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} . Jedná se v podstatě o totéž, protože 1/x lze zjednodušit na použití exponentů:

f ( x ) = 1 x = x - 1 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}=x^{-1}}

f ′ ( x ) = - 1 ( x - 2 ) {\displaystyle f'(x)=-1(x^{-2})}

f ′ ( x ) = - 1 x 2 {\displaystyle f'(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}}

Kromě toho lze kořeny změnit tak, že se použijí zlomkové exponenty, u nichž lze najít jejich derivaci:

f ( x ) = x 2 3 = x 2 3 {\displaystyle f(x)={\sqrt[{3}]{x^{2}}}=x^{\frac {2}{3}}}}

f ′ ( x ) = 2 3 ( x - 1 3 ) {\displaystyle f'(x)={\frac {2}{3}}}(x^{-{\frac {1}{3}}})}

Exponenciální funkce

Exponenciála má tvar a b f ( x ) {\displaystyle ab^{f\left(x\right)}} , kde a {\displaystyle a} a b {\displaystyle b} jsou konstanty a f ( x ) {\displaystyle f(x)} je funkce x {\displaystyle x} . Rozdíl mezi exponenciálou a polynomem je ten, že v polynomu je x {\displaystyle x} zvýšeno na nějakou mocninu, zatímco v exponenciále je x {\displaystyle x} v mocnině.

Příklad 1

d d x ( a b f ( x ) ) = a b f ( x ) ⋅ f ′ ( x ) ⋅ ln ( b ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(ab^{f\left(x\right)}\right)=ab^{f(x)}\cdot f'\left(x\right)\cdot \ln(b)}

Příklad 2

Najděte d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(3\cdot 2^{3{x^{2}}}\right)} .

a = 3 {\displaystyle a=3}

b = 2 {\displaystyle b=2}

f ( x ) = 3 x 2 {\displaystyle f\left(x\right)=3x^{2}}

f ′ ( x ) = 6 x {\displaystyle f'\left(x\right)=6x}

Proto,

d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) = 3 ⋅ 2 3 x 2 ⋅ 6 x ⋅ ln ( 2 ) = ln ( 2 ) ⋅ 18 x ⋅ 2 3 x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(3\cdot 2^{3x^{2}}\right)=3\cdot 2^{3x^{2}}\cdot 6x\cdot \ln \left(2\right)=\ln \left(2\right)\cdot 18x\cdot 2^{3x^{2}}}.

Logaritmické funkce

Derivátem logaritmů je reciproká hodnota:

d d x ln ( x ) = 1 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}} .

Vezměme například d d x ln ( 5 x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \left({\frac {5}{x}}\right)} . To lze redukovat na (podle vlastností logaritmů):

d d x ( ln ( 5 ) ) - d d x ( ln ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\ln(5))-{\frac {d}{dx}}(\ln(x))}

Logaritmus 5 je konstanta, takže jeho derivace je 0. Derivace ln(x) je 1 x {\displaystyle {\frac {1}{x}}} . Takže,

0 - d d x ln ( x ) = - 1 x {\displaystyle 0-{\frac {d}{dx}}\ln(x)=-{\frac {1}{x}}})

Pro derivace logaritmů, které nejsou v základu e, jako je d d x ( log 10 ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\log _{10}(x))} , to lze redukovat na: d d x log 10 ( x ) = d d x ln x ln 10 = 1 ln 10 d d x ln x = 1 x ln ( 10 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{10}(x)={\frac {d}{dx}}{\frac {\ln {x}}{\ln {10}}}={\frac {1}{\ln {10}}}{\frac {d}{dx}}\ln {x}={\frac {1}{x\ln(10)}}}.

Trigonometrické funkce

Funkce kosinus je derivací funkce sinus, zatímco derivace kosinusu je záporný sinus (za předpokladu, že x se měří v radiánech):

d d x sin ( x ) = cos ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)}

d d x cos ( x ) = - sin ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}

d d x sec ( x ) = sec ( x ) tan ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec(x)=\sec(x)\tan(x)} .  

Deriváty lze rozdělit na menší části, pokud je lze zvládnout (protože mají například pouze jednu z výše uvedených funkčních charakteristik):

d d x ( 3 x 6 + x 2 - 6 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(3x^{6}+x^{2}-6)} lze rozložit takto:

d d x ( 3 x 6 ) + d d x ( x 2 ) - d d x ( 6 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(3x^{6})+{\frac {d}{dx}}(x^{2})-{\frac {d}{dx}}(6)}

= 6 ⋅ 3 x 5 + 2 x - 0 {\displaystyle =6\cdot 3x^{5}+2x-0}

= 18 x 5 + 2 x {\displaystyle =18x^{5}+2x\,}  

Derivát funkce lze použít k hledání maxim a minim funkce tak, že se vyhledají místa, kde je její sklon nulový.

Derivace se používají v Newtonově metodě, která pomáhá najít nuly (kořeny) funkce.

Derivát může určovat rostoucí nebo klesající a konkávnost

• Parciální derivát
• Calculus
• Integrální