Metoda tečen
Newtonova metoda umožňuje najít reálná nuly funkce. Tento algoritmus se někdy nazývá Newtonova-Raphsonova metoda, pojmenovaná podle sira Isaaca Newtona a Josepha Raphsona.
Metoda využívá k nalezení kořenů funkce její derivace. Je třeba provést počáteční "odhad hodnoty" umístění nuly. Z této hodnoty se vypočítá nový odhad podle tohoto vzorce:
x n + 1 = x n - f ( x n ) f ′ ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}} 
Zde xn je počáteční odhad a xn+1 je další odhad. Funkce f (jejíž nulu řešíme) má derivaci f'.
Opakovaným použitím tohoto vzorce na vygenerované odhady (tj. nastavením hodnoty xn na výstup vzorce a opětovným výpočtem) se hodnota odhadů bude blížit nule funkce.
Newtonovu metodu lze graficky vysvětlit pomocí průsečíků tečných přímek s osou x. Nejprve se vypočítá přímka tečná k f v bodě xn. Poté se najde průsečík této tečny s osou x. Nakonec se zaznamená poloha x tohoto průsečíku jako další odhad, xn+1.
Funkce (modrá) se používá k výpočtu sklonu tečny (červená) v bodě xn.
Problémy s Newtonovou metodou
Newtonova metoda dokáže najít řešení rychle, pokud odhadovaná hodnota začíná dostatečně blízko požadovaného kořene. Pokud však počáteční odhadovaná hodnota není blízko a v závislosti na funkci, může Newtonova metoda najít řešení pomalu nebo vůbec.
Další čtení
- Fernández, J. A. E., & Verón, M. Á. H. (2017). Newtonova metoda: An updated approach of Kantorovich's theory (Aktualizované přiblížení Kantorovičovy teorie). Birkhäuser.
- Peter Deuflhard, Newtonovy metody pro nelineární problémy. Affine Invariance and Adaptive Algorithms, druhé tištěné vydání. Series Computational Mathematics 35, Springer (2006)
- Yamamoto, T. (2001). "Historický vývoj v analýze konvergence Newtonových a Newton-like metod". In Brezinski, C.; Wuytack, L. (eds.). Numerical Analysis : Historical Developments in the 20th Century [Numerická analýza : historický vývoj ve 20. století]. North-Holland. s. 241-263.
Viz také
- Kantorovičova věta (tvrzení o konvergenci Newtonovy metody, které objevil Leonid Kantorovič)
| Kontrola úřadu |
|
Otázky a odpovědi
Otázka: Co je to Newtonova metoda?
A: Newtonova metoda je algoritmus pro hledání reálných nul funkce. K výpočtu kořenů funkce používá její derivaci a vyžaduje počáteční odhad hodnoty polohy nuly.
Otázka: Kdo tuto metodu vyvinul?
Odpověď: Metodu vyvinuli sir Isaac Newton a Joseph Raphson, proto se někdy nazývá Newtonova-Raphsonova metoda.
Otázka: Jak tento algoritmus funguje?
Odpověď: Tento algoritmus funguje tak, že se opakovaně použije vzorec, který přijme počáteční odhadovanou hodnotu (xn) a vypočítá nový odhad (xn+1). Opakováním tohoto procesu se odhady přiblíží nule funkce.
Otázka: Co je třeba k použití tohoto algoritmu?
Odpověď: Chcete-li použít tento algoritmus, musíte mít počáteční "odhadovanou hodnotu" polohy nuly a také znalosti o derivaci dané funkce.
Otázka: Jak lze Newtonovu metodu vysvětlit graficky?
Odpověď: Newtonovu metodu můžeme graficky vysvětlit tak, že se podíváme na průsečíky tečných přímek s osou x. Nejprve se vypočítá přímka tečná k f v bodě xn. Poté najdeme průsečík této tečny s osou x a jeho polohu x zaznamenáme jako další odhad - xn+1.
Otázka: Existuje nějaké omezení při použití Newtonovy metody?
Odpověď: Ano, pokud je počáteční hodnota odhadu příliš vzdálená od skutečného kořene, může to trvat déle nebo se dokonce nepodaří konvergovat ke kořeni kvůli oscilacím kolem něj nebo divergenci od něj.
