Metoda tečen

Autor: Leandro Alegsa

Newtonova metoda umožňuje najít reálná nuly funkce. Tento algoritmus se někdy nazývá Newtonova-Raphsonova metoda, pojmenovaná podle sira Isaaca Newtona a Josepha Raphsona.

Metoda využívá k nalezení kořenů funkce její derivace. Je třeba provést počáteční "odhad hodnoty" umístění nuly. Z této hodnoty se vypočítá nový odhad podle tohoto vzorce:

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ′ ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}} {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}

Zde xn je počáteční odhad a xn+1 je další odhad. Funkce f (jejíž nulu řešíme) má derivaci f'.

Opakovaným použitím tohoto vzorce na vygenerované odhady (tj. nastavením hodnoty xn na výstup vzorce a opětovným výpočtem) se hodnota odhadů bude blížit nule funkce.

Newtonovu metodu lze graficky vysvětlit pomocí průsečíků tečných přímek s osou x. Nejprve se vypočítá přímka tečná k f v bodě xn. Poté se najde průsečík této tečny s osou x. Nakonec se zaznamená poloha x tohoto průsečíku jako další odhad, xn+1.

Funkce (modrá) se používá k výpočtu sklonu tečny (červená) v bodě xn.Zoom
Funkce (modrá) se používá k výpočtu sklonu tečny (červená) v bodě xn.

Problémy s Newtonovou metodou

Newtonova metoda dokáže najít řešení rychle, pokud odhadovaná hodnota začíná dostatečně blízko požadovaného kořene. Pokud však počáteční odhadovaná hodnota není blízko a v závislosti na funkci, může Newtonova metoda najít řešení pomalu nebo vůbec.

Další čtení

  • Fernández, J. A. E., & Verón, M. Á. H. (2017). Newtonova metoda: An updated approach of Kantorovich's theory (Aktualizované přiblížení Kantorovičovy teorie). Birkhäuser.
  • Peter Deuflhard, Newtonovy metody pro nelineární problémy. Affine Invariance and Adaptive Algorithms, druhé tištěné vydání. Series Computational Mathematics 35, Springer (2006)
  • Yamamoto, T. (2001). "Historický vývoj v analýze konvergence Newtonových a Newton-like metod". In Brezinski, C.; Wuytack, L. (eds.). Numerical Analysis : Historical Developments in the 20th Century [Numerická analýza : historický vývoj ve 20. století]. North-Holland. s. 241-263.

Viz také

  • Kantorovičova věta (tvrzení o konvergenci Newtonovy metody, které objevil Leonid Kantorovič)

Kontrola úřadu Edit this at Wikidata

Otázky a odpovědi

Otázka: Co je to Newtonova metoda?


A: Newtonova metoda je algoritmus pro hledání reálných nul funkce. K výpočtu kořenů funkce používá její derivaci a vyžaduje počáteční odhad hodnoty polohy nuly.

Otázka: Kdo tuto metodu vyvinul?


Odpověď: Metodu vyvinuli sir Isaac Newton a Joseph Raphson, proto se někdy nazývá Newtonova-Raphsonova metoda.

Otázka: Jak tento algoritmus funguje?


Odpověď: Tento algoritmus funguje tak, že se opakovaně použije vzorec, který přijme počáteční odhadovanou hodnotu (xn) a vypočítá nový odhad (xn+1). Opakováním tohoto procesu se odhady přiblíží nule funkce.

Otázka: Co je třeba k použití tohoto algoritmu?


Odpověď: Chcete-li použít tento algoritmus, musíte mít počáteční "odhadovanou hodnotu" polohy nuly a také znalosti o derivaci dané funkce.

Otázka: Jak lze Newtonovu metodu vysvětlit graficky?


Odpověď: Newtonovu metodu můžeme graficky vysvětlit tak, že se podíváme na průsečíky tečných přímek s osou x. Nejprve se vypočítá přímka tečná k f v bodě xn. Poté najdeme průsečík této tečny s osou x a jeho polohu x zaznamenáme jako další odhad - xn+1.

Otázka: Existuje nějaké omezení při použití Newtonovy metody?


Odpověď: Ano, pokud je počáteční hodnota odhadu příliš vzdálená od skutečného kořene, může to trvat déle nebo se dokonce nepodaří konvergovat ke kořeni kvůli oscilacím kolem něj nebo divergenci od něj.


Vyhledávání
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3