Hilbertovy problémy
V roce 1900 zveřejnil matematik David Hilbert seznam 23 nevyřešených matematických problémů. Tento seznam problémů se ukázal jako velmi vlivný. Po Hilbertově smrti byl v jeho spisech nalezen další problém; ten je dnes někdy znám jako Hilbertův 24. problém. Tento problém se týká nalezení kritérií, která ukazují, že řešení problému je nejjednodušší možné.
Z 23 problémů byly tři v roce 2012 nevyřešené, tři byly příliš nejasné na to, aby se daly vyřešit, a šest bylo možné vyřešit částečně. Vzhledem k vlivu těchto problémů formuloval Clayův matematický institut v roce 2000 podobný seznam nazvaný Problémy ceny tisíciletí.
Souhrn
Formulace některých problémů je lepší než formulace jiných. Z čistě formulovaných Hilbertových problémů mají konsenzuálně přijatelné řešení problémy 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20 a 21. Naproti tomu problémy 1, 2, 5, 9, 15, 18+ , a 22 mají řešení, které je částečně přijatelné, ale existuje určitá polemika o tom, zda problém řeší.
Řešení úlohy 18, Keplerovy domněnky, využívá důkaz pomocí počítače. To je kontroverzní, protože lidský čtenář není schopen důkaz ověřit v rozumném čase.
Zbývá tedy 16, 8 (Riemannova hypotéza) a 12 nevyřešených. V této klasifikaci jsou 4, 16 a 23 příliš nejasné na to, aby je bylo možné označit za vyřešené. Do této třídy by patřila i stažená 24. Číslo 6 je považováno za problém spíše z oblasti fyziky než matematiky.
Tabulka problémů
Hilbertových třiadvacet problémů je následujících:
| Problém | Stručné vysvětlení | Stav | Vyřešený rok |
| 1. | Hypotéza o kontinuu (tj. neexistuje množina, jejíž kardinalita by byla přesně mezi kardinalitou celých a reálných čísel). | Prokázáno, že v rámci Zermelo-Fraenkelovy teorie množin s axiomem volby nebo bez něj je nemožné dokázat nebo vyvrátit (za předpokladu, že Zermelo-Fraenkelova teorie množin s axiomem volby nebo bez něj je konzistentní, tj. neobsahuje dvě věty tak, že jedna je negací druhé). Neexistuje shoda na tom, zda se jedná o řešení problému. | 1963 |
| 2. | Dokažte, že axiomy aritmetiky jsou konzistentní. | Neexistuje shoda v tom, zda výsledky Gödela a Gentzena poskytují řešení problému, jak jej uvedl Hilbert. Gödelova druhá věta o neúplnosti, dokázaná v roce 1931, ukazuje, že v rámci samotné aritmetiky nelze provést žádný důkaz její konzistence. Gentzenův důkaz konzistence (1936) ukazuje, že konzistence aritmetiky vyplývá z dobře podloženého ordinálu ε0 . | 1936? |
| 3. | Je vždy možné rozřezat první mnohostěn na konečný počet mnohostěnů, které lze opět složit a získat tak druhý mnohostěn? | Vyřešeno. Výsledek: ne, dokázáno pomocí Dehnových invariantů. | 1900 |
| 4. | Zkonstruujte všechny metriky, kde přímky jsou geodetické. | Příliš vágní na to, aby bylo možné říci, zda je to vyřešeno, nebo ne. | - |
| 5. | Jsou spojité skupiny automaticky diferenčními skupinami? | Vyřešil Andrew Gleason nebo Hidehiko Yamabe, podle toho, jak je původní výrok interpretován. Pokud je však chápána jako ekvivalent Hilbertovy-Smithovy domněnky, je stále nevyřešená. | 1953? |
| 6. | Axiomatizace celé fyziky | Částečně vyřešeno. | - |
| 7. | Je a btranscendentální, pro algebraické a ≠ 0,1 a iracionální algebraické b ? | Vyřešeno. Výsledek: ano, ilustrováno Gelfondovou větou nebo Gelfondovou-Schneiderovou větou. | 1934 |
| 8. | Riemannova hypotéza ("reálná část každé netriviální nuly Riemannovy zetové funkce je ½") a další problémy prvočísel, mezi nimi Goldbachova domněnka a domněnka o dvojčatech. | Nevyřešeno. | - |
| 9. | Najděte nejobecnější zákon věty o reciprocitě v libovolném algebraickém oboru čísel | Částečně vyřešeno. | - |
| 10. | Najděte algoritmus pro určení, zda má daná polynomická diofantická rovnice s celočíselnými koeficienty celočíselné řešení. | Vyřešeno. Výsledek: nemožné, z Matiyasevichovy věty vyplývá, že takový algoritmus neexistuje. | 1970 |
| 11. | Řešení kvadratických forem s algebraickými číselnými koeficienty. | Částečně vyřešeno. [] | - |
| 12. | Rozšiřte Kroneckerovu-Weberovu větu o abelických rozšířeních racionálních čísel na libovolné základní číselné pole. | Částečně vyřešeno pomocí teorie třídního pole, i když řešení není tak jednoznačné jako Kroneckerova-Weberova věta. | - |
| 13. | Řešení rovnic 7. stupně pomocí spojitých funkcí dvou parametrů. | Nevyřešeno. Problém částečně vyřešil Vladimir Arnold na základě práce Andreje Kolmogorova. | 1957 |
| 14. | Je kruh invariantů algebraické grupy působící na polynomický kruh vždy konečně generovaný? | Vyřešeno. Výsledek: Ne, protipříklad sestrojil Masayoshi Nagata. | 1959 |
| 15. | Rigorózní základy Schubertova enumerativního kalkulu. | Částečně vyřešeno. [] | - |
| 16. | Popište relativní polohu oválů vycházejících z reálné algebraické křivky a jako limitní cykly polynomického vektorového pole v rovině. | Nevyřešeno. | - |
| 17. | Vyjádření určité racionální funkce jako kvocientu součtů čtverců | Řeší Emil Artin a Charles Delzell. Výsledek: Byl stanoven horní limit pro počet nutných čtvercových členů. Nalezení dolní meze je stále otevřeným problémem. | 1927 |
| 18. | (a) Existuje mnohostěn, který ve třech rozměrech připouští pouze anisoedrické dlaždice? | (a) rozhodnuto. Výsledek: ano (Karl Reinhardt). | (a) 1928 |
| 19. | Jsou řešení Lagrangiánů vždy analytická? | Vyřešeno. Výsledek: Ano, dokázal Ennio de Giorgi a nezávisle na něm a s použitím jiných metod John Forbes Nash. | 1957 |
| 20. | Mají všechny variační úlohy s určitými okrajovými podmínkami řešení? | Vyřešeno. Významné téma výzkumu po celé 20. století, které vyvrcholilo řešením[] pro nelineární případ. | - |
| 21. | Důkaz existence lineárních diferenciálních rovnic s předepsanou monodromickou grupou | Vyřešeno. Výsledek: Ano nebo ne, v závislosti na přesnější formulaci problému. [] | - |
| 22. | Uniformizace analytických vztahů pomocí automorfních funkcí | Vyřešeno. [] | - |
| 23. | Další vývoj variačního počtu | Nevyřešeno. | - |
Otázky a odpovědi
Otázka: Kdo v roce 1900 zveřejnil seznam 23 nevyřešených matematických problémů?
A: David Hilbert zveřejnil v roce 1900 seznam 23 nevyřešených matematických problémů.
Otázka: Byl Hilbertův 24. problém součástí původního seznamu?
Odpověď: Ne, Hilbertův 24. problém byl nalezen v Hilbertových spisech až po jeho smrti.
Otázka: O čem je Hilbertův 24. problém?
Odpověď: Hilbertův 24. problém je o nalezení kritérií, která ukazují, že řešení problému je nejjednodušší možné.
Otázka: Bylo všech 23 problémů z Hilbertova seznamu vyřešeno do roku 2012?
Odpověď: Ne, tři z 23 problémů na Hilbertově seznamu nebyly v roce 2012 vyřešeny.
Otázka: Byl některý z problémů na Hilbertově seznamu příliš vágní na to, aby mohl být vyřešen?
Odpověď: Ano, tři z problémů na Hilbertově seznamu byly příliš vágní na to, aby mohly být vyřešeny.
Otázka: Kolik problémů z Hilbertova seznamu bylo možné částečně vyřešit?
Odpověď: Šest problémů z Hilbertova seznamu bylo možné částečně vyřešit.
Otázka: Vytvořil Clayův matematický institut podobný seznam jako Hilbertův seznam problémů?
Odpověď: Ano, Clayův matematický institut vytvořil v roce 2000 podobný seznam nazvaný Problémy ceny tisíciletí.
