Riemannova hypotéza

Co je Riemannova hypotéza?

Co je Riemannova zeta funkce?

Riemannova zeta funkce je druh funkce. Funkce jsou v matematice podobné věci jako rovnice. Funkce přijímají čísla a vracejí vám jiná čísla. Je to podobné, jako když dostanete odpověď, když položíte otázku. Číslo, které do funkce vložíte, se nazývá "vstup". Číslo, které dostanete zpět, se nazývá "hodnota". Každý vstup, který vložíte do Riemannovy zeta funkce, vám vrátí zvláštní hodnotu. Pro každý vstup většinou dostanete jinou hodnotu. Ale každý vstup vám dává stejnou hodnotu pokaždé, když ho použijete. Jak vstup, který zadáte, tak hodnota, kterou dostanete z Riemannovy zeta funkce, jsou speciální čísla, která se nazývají komplexní čísla. Komplexní číslo je číslo o dvou částech.

Co je to netriviální kořen?

Někdy, když do Riemannovy zetové funkce vložíte vstup, dostanete zpět číslo nula. Pokud se tak stane, nazýváme tento vstup kořenem Riemannovy zeta funkce. Když vám vstup dá nulu, nazýváte ho "kořen". Bylo nalezeno mnoho kořenů. Některé kořeny se však hledají snáze než jiné. Těmto kořenům říkáme "triviální" nebo "netriviální". Kořen nazýváme "triviální", pokud je snadné ho najít. Kořen však nazýváme "netriviální", pokud je obtížné ho najít. Triviální kořeny jsou čísla nazývaná "záporná sudá čísla". Důvod, proč je považujeme za snadné, je ten, že se dají snadno najít. Existují přehledná pravidla, která říkají, jaké jsou triviální kořeny. Víme, co jsou triviální kořeny, díky rovnici, kterou dal Bernhard Riemann. Této rovnici se říká "Riemannova funkční rovnice".

Jak najdeme netriviální kořeny?

Netriviální kořeny se hledají obtížněji. Je těžší je najít než triviální kořeny. Nemají stejně přehledná pravidla, která by říkala, co jsou zač. Přestože je těžké je najít, bylo nalezeno mnoho netriviálních kořenů. Vzpomeňte si, že hodnota Riemannovy zeta funkce byla druhem čísla, kterému se říká komplexní číslo. A nezapomeňte, že komplexní čísla mají dvě části. Jedna z těchto částí se nazývá "reálná část". Všimli jsme si zajímavé věci týkající se reálné části netriviálních kořenů. Všechny netriviální kořeny, které jsme našli, mají reálnou část, která je stejným číslem. Toto číslo je 1/2, což je zlomek. Tím se dostáváme k Riemannově velké otázce, která se týká toho, jak velké jsou reálné části. Tato otázka je Riemannovou hypotézou. Otázka zní "mají všechny netriviální kořeny reálnou část 1/2?". Stále se snažíme zjistit, zda je odpověď "ano", nebo "ne".

Co zatím víme?

Odpověď na tuto otázku zatím neznáme. Známe však několik dobrých faktů. Tato fakta by nám mohla pomoci. Existuje způsob, jak můžeme zjistit fakta o reálných částech netriviálních kořenů. Je to pomocí Riemannovy speciální rovnice (Riemannovy funkcionální rovnice). Riemannova funkční rovnice nám říká o velikosti reálných částí. Říká, že všechny netriviální nuly mají reálnou část blízkou 1/2. Říká, jak malé mohou být reálné části a jak velké mohou být. Neříká však, jaké přesně jsou. Konkrétně říká, že reálné části musí být větší než 0. Ale musí být menší než 1. Stále však nevíme, zda může existovat netriviální odmocnina s reálnou částí velmi blízkou 1/2. V tomto případě se jedná o reálné části. Možná existuje, jen jsme ho zatím nenašli. Skupina komplexních čísel, která mají reálnou část větší než 0, ale menší než 1, se nazývá "kritický pás".

Riemannova hypotéza na obrázku

Na obrázku v pravém horním rohu této stránky je zobrazena Riemannova zeta funkce. Netriviální kořeny jsou znázorněny bílými tečkami. Vypadají, jako by byly všechny v řadě úplně uprostřed obrázku. Nejsou příliš daleko vlevo ani vpravo. Ve skutečnosti jde o to, jak daleko zleva doprava se nacházíte. To, že jsou uprostřed obrázku, znamená, že mají skutečnou část 1/2. Takže všechny netriviální kořeny na obrázku mají reálnou část 1/2. Náš obrázek však nezobrazuje vše, protože Riemannova zeta funkce je příliš velká na to, aby se dala zobrazit. Co tedy s netriviálními kořeny nad a pod obrázkem? Byly by také uprostřed? Co když poruší vzorec, že jsou uprostřed? Mohly by být mírně vlevo nebo vpravo. Riemannova hypotéza se ptá, zda by každý netriviální kořen (bílá tečka) byl na přímce uprostřed. Pokud je odpověď záporná, říkáme, že "hypotéza je nepravdivá". To by znamenalo, že existují bílé body, které na dané přímce neleží.