Hypotéza kontinua
Hypotéza kontinua je hypotéza, že neexistuje množina, která by byla větší než množina přirozených čísel a zároveň menší než množina reálných čísel. Tuto hypotézu vyslovil Georg Cantor v roce 1877.
Přirozených čísel je nekonečně mnoho, kardinalita množiny přirozených čísel je nekonečná. To platí i pro množinu reálných čísel, ale reálných čísel je více než přirozených. Říkáme, že přirozená čísla mají nekonečnou kardinalitu a reálná čísla mají nekonečnou kardinalitu, ale kardinalita reálných čísel je větší než kardinalita přirozených čísel.
Tato hypotéza je prvním problémem na seznamu 23 problémů, které David Hilbert zveřejnil v roce 1900. Kurt Gödel v roce 1939 ukázal, že hypotézu nelze falzifikovat pomocí Zermelo-Fraenkelovyteorie množin. Zermelo-Fraenkelova teorie množin je teorie množin běžně používaná v matematice. Paul Cohen v 60. letech 20. století ukázal, že Zermelo-Fraenkelovu teorii množin nelze použít ani k důkazu hypotézy kontinua. Cohen za to získal Fieldsovu medaili.
Otázky a odpovědi
Otázka: Co je to hypotéza kontinua?
Odpověď: Hypotéza kontinua je hypotéza, že neexistuje množina, která by byla větší než množina přirozených čísel a zároveň menší než množina reálných čísel.
Otázka: Kdo a kdy vyslovil hypotézu kontinua?
Odpověď: Hypotézu kontinua vyslovil Georg Cantor v roce 1877.
Otázka: Je přirozených čísel nekonečně mnoho?
Odpověď: Ano, přirozených čísel je nekonečně mnoho.
Otázka: Jaká je kardinalita množiny přirozených čísel?
Odpověď: Kardinalita množiny přirozených čísel je nekonečná.
Otázka: Existuje více reálných čísel než přirozených čísel?
Odpověď: Ano, reálných čísel je více než přirozených čísel.
Otázka: Lze falzifikovat hypotézu kontinua pomocí Zermelo-Fraenkelovy teorie množin?
Odpověď: Kurt Gödel v roce 1939 ukázal, že hypotézu nelze falzifikovat pomocí Zermelo-Fraenkelovy teorie množin.
Otázka: Kdo ukázal, že Zermelo-Fraenkelovu teorii množin nelze použít k důkazu hypotézy kontinua?
Odpověď: Paul Cohen v 60. letech 20. století ukázal, že Zermelo-Fraenkelovu teorii množin nelze použít k důkazu hypotézy kontinua.
