Zermelo-Fraenkelova teorie množin

Axiom je tvrzení, které je přijímáno bez pochybností a které nemá žádný důkaz. ZF obsahuje osm axiomů.

1. Axiom rozšíření říká, že dvě množiny jsou si rovny tehdy a jen tehdy, když mají stejné prvky. Například množina { 1 , 3 }. {\displaystyle \{1,3\}} a množina { 3 , 1 } {\displaystyle \{3,1\}} jsou si rovny.
2. Axiom založení říká, že každá množina S {\displayyle S} (kromě prázdné množiny) obsahuje prvek, který je disjunktní (nemá společné členy) s množinou S {\displaystyle S}. .
3. Axiom specifikace říká, že při dané množině S {\displaystyle S} a predikátu F {\displaystyle F} (funkce, která je buď pravdivá, nebo nepravdivá), že existuje množina, která obsahuje přesně ty prvky S {\displaystyle S} , kde F {\displaystyle F} je pravdivá. Například pokud S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 }. {\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}} a F {\displaystyle F} je "toto je sudé číslo", pak axiom říká, že množina { 2 , 6 } {\displaystyle \{2,6\}} existuje.
4. Axiom párování říká, že jsou-li dány dvě množiny, existuje množina, jejímiž členy jsou právě tyto dvě množiny. Jsou tedy dány dvě množiny { 0 , 3 }. {\displaystyle \{0,3\}} a { 2 , 5 } {\displaystyle \{2,5\}}. tento axiom říká, že množina { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}} existuje.
5. Axiom sjednocení říká, že pro každou množinu existuje množina, která se skládá právě z prvků prvků této množiny. Například je dána množina { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} tento axiom říká, že množina { 0 , 3 , 2 , 5 } {\displaystyle \{0,3,2,5\}} existuje.
6. Axiom záměny říká, že pro libovolnou množinu S {\displaystyle S} a funkci F {\displaystyle F} , že existuje množina složená z výsledků volání F {\displaystyle F} na všechny členy S {\displaystyle S} . Například pokud S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 }. {\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}} a F {\displaystyle F} je "přičti k tomuto číslu deset", pak axiom říká, že množina { 11 , 12 , 13 , 15 , 16 } {\displaystyle \{11,12,13,15,16\}} existuje.
7. Axiom nekonečna říká, že existuje množina všech celých čísel (definovaná Von Neumannovou konstrukcí). Je to množina { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... . } {\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}}
8. Axiom mocninné množiny říká, že mocninná množina (množina všech podmnožin) libovolné množiny existuje. Například mocninná množina množiny { 2 , 5 }. {\displaystyle \{2,5\}} je { { { } , { 2 } , { 5 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{\},\{2\},\{5\},\{2,5\}\}}

Axiom výběru říká, že z každého prvku množiny je možné vzít jeden objekt a vytvořit novou množinu. Například při dané množině { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} axiom výběru by ukázal, že množina jako {3 , 5 } {\displaystyle \{3,5\}} existuje. Tento axiom lze dokázat z ostatních axiomů pro konečné množiny, ale ne pro nekonečné množiny.