Gödelovy věty o neúplnosti
Gödelovy věty o neúplnosti je název pro dvě věty (pravdivá matematická tvrzení), které dokázal Kurt Gödel v roce 1931. Jedná se o věty z matematické logiky.
Matematici si kdysi mysleli, že vše, co je pravdivé, má matematický důkaz. Systém, který tuto vlastnost má, se nazývá úplný; systém, který ji nemá, se nazývá neúplný. Matematické myšlenky by také neměly mít rozpory. To znamená, že by neměly být pravdivé a nepravdivé zároveň. Systém, který neobsahuje rozpory, se nazývá konzistentní. Tyto systémy jsou založeny na souborech axiomů. Axiomy jsou tvrzení, která jsou přijímána jako pravdivá a nepotřebují důkaz.
Gödel řekl, že každý netriviální (zajímavý) formální systém je buď neúplný, nebo nekonzistentní:
- Vždy budou existovat otázky, které nelze zodpovědět pomocí určitého souboru axiomů;
- Nemůžete dokázat, že systém axiomů je konzistentní, pokud nepoužijete jiný soubor axiomů.
Tyto věty jsou pro matematiky důležité, protože dokazují, že není možné vytvořit soubor axiomů, který by vysvětloval vše v matematice.
Některá související témata
Otázky a odpovědi
Otázka: Co jsou Gödelovy věty o neúplnosti?
Odpověď: Gödelovy věty o neúplnosti jsou dvě pravdivá matematická tvrzení, která dokázal Kurt Gödel v roce 1931 v oblasti matematické logiky.
Otázka: Co je v matematice úplný systém?
Odpověď: Úplný systém v matematice je systém, který má vlastnost, že vše, co je pravdivé, má matematický důkaz.
Otázka: Co je v matematice neúplný systém?
Odpověď: Neúplný systém v matematice je systém, který nemá vlastnost, že vše, co je pravdivé, má matematický důkaz.
Otázka: Co je v matematice konzistentní systém?
Odpověď: Konzistentní systém v matematice je systém, který neobsahuje rozpory, což znamená, že matematické myšlenky by neměly být pravdivé a nepravdivé zároveň.
Otázka: Co jsou v matematice axiomy?
A: Axiomy v matematice jsou tvrzení, která jsou považována za pravdivá a nevyžadují důkaz.
Otázka: Co Gödel tvrdil o každém netriviálním formálním systému?
Odpověď: Gödel tvrdil, že každý netriviální formální systém je buď neúplný, nebo nekonzistentní.
Otázka: Proč jsou Gödelovy věty o neúplnosti pro matematiky důležité?
Odpověď: Gödelovy věty o neúplnosti jsou pro matematiky důležité, protože dokazují, že není možné vytvořit soubor axiomů, který by vysvětloval vše v matematice.
