Povrchový integrál: definice, výpočet, příklady a aplikace ve fyzice

Uvažujme povrch S, na kterém je definováno skalární pole f. Pokud si představíme S jako povrch z nějakého materiálu a pro každé x v S je číslo f(x) hustotou materiálu v místě x, pak povrchový integrál f nad S je hmotnost na jednotku tloušťky S. (To platí pouze v případě, že povrch je nekonečně tenká skořápka.) Jedním z přístupů k výpočtu povrchového integrálu je pak rozdělit povrch na mnoho velmi malých kousků, předpokládat, že na každém kousku je hustota přibližně konstantní, zjistit hmotnost na jednotku tloušťky každého kousku vynásobením hustoty kousku jeho plochou a pak sečíst výsledná čísla a zjistit celkovou hmotnost na jednotku tloušťky S.

Pro nalezení explicitního vzorce pro povrchový integrál matematici parametrizují S tak, že na S uvažují soustavu křivočarých souřadnic, jako je zeměpisná šířka a délka na kouli. Nechť je taková parametrizace x(s, t), kde (s, t) se mění v nějaké oblasti T v rovině. Pak je povrchový integrál dán vztahem

∫ S f d S = ∬ T f ( x ( s , t ) ) | ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t | d s d t {\displaystyle \int _{S}f\,dS=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\partial \mathbf {x} \přes \část s}\\časy {\část \mathbf {x} \over \partial t}\pravá|ds\,dt}

kde výraz mezi sloupci na pravé straně je velikostí křížového součinu parciálních derivací x(s, t).

Například pro zjištění plochy nějakého obecného funkčního tvaru, řekněme z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f\,(x,y)} , máme následující vztahy

A = ∫ S d S = ∬ T ‖ ∂ r ∂ x × ∂ r ∂ y ‖ d x d y {\displaystyle A=\int _{S}\,dS=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|dx\,dy}

kde r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y ) ) {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))} . Takže ∂ r ∂ x = ( 1 , 0 , f x ( x , y ) ). {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))} a ∂ r ∂ y = ( 0 , 1 , f y ( x , y ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))} . Takže,

A = ∬ T ‖ ( 1 , 0 , ∂ f ∂ x ) × ( 0 , 1 , ∂ f ∂ y ) ‖ d x d y = ∬ T ‖ ( - ∂ f ∂ x , - ∂ f ∂ y , 1 ) ‖ d x d y = ∬ T ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 + 1 d x d y {\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|dx\,dy\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|dx\,dy\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,dx\,dy\end{aligned}}}

což je vzorec používaný pro plochu obecného funkčního tvaru. Vektor ve druhém řádku výše lze rozpoznat jako normálový vektor k povrchu.

Všimněte si, že kvůli přítomnosti křížového součinu fungují výše uvedené vzorce pouze pro plochy vložené do trojrozměrného prostoru.

Uvažujme vektorové pole v na S, tj. pro každé x v S je v(x) vektor.

Povrchový integrál lze definovat složkově podle definice povrchového integrálu skalárního pole; výsledkem je vektor. To platí například pro elektrické pole v určitém pevném bodě v důsledku elektricky nabitého povrchu nebo pro gravitaci v určitém pevném bodě v důsledku listu materiálu. Lze také vypočítat magnetický tok procházející povrchem.

Matematici mohou také integrovat normálovou složku vektorového pole; výsledkem je skalár. Příkladem je kapalina protékající bodem S, takže v(x) určuje rychlost kapaliny v bodě x. Tok je definován jako množství kapaliny protékající bodem S za jednotku času.

Z tohoto znázornění vyplývá, že pokud je vektorové pole v každém bodě tečné k S, pak je tok nulový, protože kapalina proudí pouze rovnoběžně s S, nikoli dovnitř ani ven. Z toho také vyplývá, že pokud v neproudí pouze podél S, tj. pokud má v tečnou i normálovou složku, pak k toku přispívá pouze normálová složka. Na základě této úvahy musíme pro zjištění toku v v každém bodě provést tečkový součin v s jednotkovou povrchovou normálou k S, čímž získáme skalární pole, a získané pole integrovat, jak je uvedeno výše. Tím získáme vzorec

∫ S v ⋅ d S = ∫ S ( v ⋅ n ) d S = ∬ T v ( x ( s , t ) ) ⋅ ( ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t ) d s d t . {\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=\int _{S}({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} })\,dS=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \přes \část s}\\časy {\část \mathbf {x} \over \partial t}\right)ds\,dt. }

Křížový součin na pravé straně tohoto výrazu je normála povrchu určená parametrizací.

Tento vzorec definuje integrál na levé straně (všimněte si tečky a vektorového zápisu pro povrchový prvek).

Pomocí diferenciální geometrie a vektorového počtu lze odvodit různé užitečné výsledky pro povrchové integrály, například větu o divergenci a její zobecnění, Stokesovu větu.

Změna parametrizace

Výše uvedená diskuse definovala povrchový integrál pomocí parametrizace povrchu S. Daný povrch může mít několik parametrizací. Například při posunu polohy severního a jižního pólu na kouli se změní zeměpisná šířka a délka pro všechny body na kouli. Přirozenou otázkou pak je, zda definice plošného integrálu závisí na zvolené parametrizaci. Pro integrály skalárních polí je odpověď na tuto otázku jednoduchá, hodnota plošného integrálu bude stejná bez ohledu na to, jakou parametrizaci použijeme.

Integrály vektorových polí jsou složitější, protože se do nich zapojuje normála povrchu. Matematici dokázali, že při dvou parametrizacích téhož povrchu, jejichž povrchové normály směřují stejným směrem, dávají obě parametrizace stejnou hodnotu povrchového integrálu. Pokud však normály těchto parametrizací směřují do opačných směrů, je hodnota plošného integrálu získaná pomocí jedné parametrizace záporná oproti hodnotě získané pomocí druhé parametrizace. Z toho vyplývá, že při daném povrchu se nemusíme držet žádné jedinečné parametrizace, ale při integraci vektorových polí se musíme předem rozhodnout, do kterého směru bude směřovat normála, a pak zvolit libovolnou parametrizaci, která je s tímto směrem v souladu.

Parametrizace pracují na částech povrchu

Dalším problémem je, že někdy povrchy nemají parametry, které by pokrývaly celý povrch; to platí například pro povrch válce (konečné výšky). Zřejmým řešením je pak rozdělit tento povrch na několik částí, vypočítat povrchový integrál na každé části a pak je všechny sečíst. Takto to skutečně funguje, ale při integraci vektorových polí je třeba opět dávat pozor na to, jak zvolit normálový vektor pro každý kousek povrchu, aby po opětovném složení kousků byly výsledky konzistentní. Pro válec to znamená, že pokud se rozhodneme, že pro boční oblast bude normála směřovat ven z tělesa, pak pro horní a dolní kruhovou část musí normála směřovat také ven z tělesa.

Nekonzistentní normály povrchu

Konečně existují plochy, které nemají v každém bodě normálu povrchu s konzistentními výsledky (například Möbiův pás). Pokud se takový povrch rozdělí na části, na každé části se zvolí parametrizace a odpovídající normála povrchu a části se opět složí dohromady, nelze normálové vektory pocházející z různých částí sladit. To znamená, že v některém místě spojnice mezi dvěma kusy budou normálové vektory směřovat opačným směrem. Takový povrch se nazývá neorientovatelný. Na neorientovatelných plochách nelze integrovat vektorová pole.

• Věta o divergenci
• Stokesova věta
• Řádkový integrál
• Objemový integrál
• Kartézský souřadný systém
• Prvky objemu a povrchu ve sférickém souřadném systému
• Prvky objemu a povrchu ve válcovém souřadném systému
• Metoda Holstein-Herring