Válec

Běžné použití

V běžném použití se válcem rozumí konečný řez pravým kruhovým válcem, tj. válcem s generujícími přímkami kolmými k základnám, jehož konce jsou uzavřeny tak, že tvoří dvě kruhové plochy, jako na obrázku (vpravo). Má-li válec poloměr r a délku (výšku) h, pak je jeho objem dán vztahem:

V = πrh²

a jeho povrch je:

• plocha vrcholu (πr²) +
• plocha dna (πr²) +
• plocha strany (2πrh).

Bez horní a dolní části (boční plochy) je tedy plocha:

A = 2πrh.

S horní a spodní částí je plocha:

A = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h).

Pro daný objem má válec s nejmenším povrchem h = 2r. Pro daný povrch má válec s největším objemem h = 2r, tj. válec se vejde do krychle (výška = průměr).

Svazek

Pravoúhlý válec o výšce h jednotek a podstavě o poloměru r jednotek se souřadnicovými osami zvolenými tak, že počátek je ve středu jedné podstavy a výška se měří podél kladné osy x. Rovinný řez ve vzdálenosti x jednotek od počátku má plochu A(x) čtverečních jednotek, kde

A ( x ) = π r {\displaystyle2 A(x)=\pi r^{2}}

nebo

A ( y ) = π r {\displaystyle2 A(y)=\pi r^{2}}

Prvek objemu je pravý válec o podstavě Aw_i čtverečních jednotek a tloušťce Δx_i jednotek. Je-li tedy V krychlových jednotek objem pravého kruhového válce, podle Riemannových součtů,

V o l u m e c y l i n d e r = lim | | Δ → |0 | ∑ i = n 1A ( w i ) Δ i x {\displaystyle \mathrm {Objem\;z\;válec} =\lim _{|\Delta \to 0||}\sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x}

= ∫0 h A ( y ) d2 y {\displaystyle =\int _{0}^{h}A(y)^{2}\,dy}

= ∫ 0h π r d2 y {\displaystyle =\int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy}

= π r h 2{\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Pomocí válcových souřadnic lze objem vypočítat integrací přes

= ∫ 0h0 ∫ 2π ∫ 0r s d s d ϕ d z {\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s,\,ds\,d\phi \,dz}

= π r h 2{\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Válcový průřez

Válcové řezy jsou průsečíky válců s rovinami. Pro pravý kruhový válec existují čtyři možnosti. Rovina, která je k válci tečná, se s válcem setkává v jedné přímce. Pohybuje-li se rovina rovnoběžně sama se sebou, buď válec neprotíná, nebo jej protíná ve dvou rovnoběžných přímkách. Všechny ostatní roviny protínají válec v elipse nebo, jsou-li kolmé na osu válce, v kružnici.

Ostatní typy válců

Eliptický válec neboli cylindroid je kvadrická plocha s následující rovnicí v kartézských souřadnicích:

( x a ) + 2( y b ) =21 . {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}}\right)^{2}=1.}

Tato rovnice platí pro eliptický válec, který je zobecněním běžného kruhového válce (a = b). Ještě obecnější je zobecněný válec: průřezem může být libovolná křivka.

Válec je degenerovaný kvadrik, protože alespoň jedna ze souřadnic (v tomto případě z) se v rovnici nevyskytuje.

Šikmý válec má horní a dolní plochu vzájemně posunutou.

Existují i další neobvyklé typy válců. Jedná se o pomyslné eliptické válce:

( x a ) + 2( y b ) =2 - 1{\displaystyle \left({\frac {x}{a}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1}

hyperbolický válec:

( x a )2 - ( y b ) = 2{\displaystyle1 \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}}

a parabolického válce:

x +2 a 2y =0 . {\displaystyle x^{2}+2ay=0.\,}

Eliptický válec


V projektivní geometrii je válec jednoduše kužel, jehož vrchol je v nekonečnu, což vizuálně odpovídá tomu, že válec v perspektivě vypadá jako kužel směrem k obloze.

Projektivní geometrie

V projektivní geometrii je válec jednoduše kužel, jehož vrchol je v nekonečnu.

To je užitečné při definování degenerovaných kuželoseček, které vyžadují uvažování válcových kuželoseček.