Elipsa (rovinná křivka): definice, vlastnosti, rovnice a použití v astronomii
Elipsa — definice, geometrické vlastnosti, rovnice v kanonické a parametrické formě, excentricita, obsah a obvod, konstrukční metoda provázkem a význam v astronomii (Keplerovy eliptické oběžné dráhy).
Elipsa je rovinný tvar připomínající ovál nebo zploštělý kruh.
V geometrii je elipsa rovinná křivka, která vznikne průsečíkem kužele s rovinou tak, že vznikne uzavřená křivka (jedna ze všech kuželoseček).
Kružnice jsou speciálními případy elipsy, které se získají, když je rovina řezu kolmá na osu kužele. Elipsa je také místem všech bodů roviny, jejichž vzdálenosti od dvou pevných bodů (ohnisek) se sčítají na konstantní hodnotu (rovnou 2a).
Elipsa má dvě ohniska; u kružnice se obě ohniska shodují se středem. Každý bod elipsy má součet vzdáleností k oběma ohniskům roven konstantě 2a.
Praktickou konstrukcí elipsy je tzv. provázková metoda: do kartonu se zapíchnou dva špendlíky v pozicích ohnisek, kolem nich se napne provázek, do smyčky se vloží tužka a provázek se táhne napnutý, čímž tužka opisuje elipsu. Tato metoda ilustruje definici elipsy pomocí součtu vzdáleností k ohniskům. V astronomii jsou oběžné dráhy planet přibližně eliptické; podle Keplerova prvního zákona obíhá planeta Slunce po elipse, jejíž jedno ohnisko zabírá Slunce.
Galerie obrázků
10 Obrázky
Rovnice a základní vlastnosti
V kanonické poloze s centrem v bodě (h,k) a osami rovnoběžnými s osami souřadnic má elipsa rovnici (x−h)²/a² + (y−k)²/b² = 1 
Ve výše uvedené rovnici jsou a a b kladné konstanty. Obvykle se předpokládá a ≥ b > 0, přičemž 2a je délka hlavní (delší) osy elipsy a 2b délka vedlejší (kratší) osy. Vzdálenost ohniska od středu označíme c; platí vztah c² = a² − b². Excentricita elipsy se definuje jako e = c/a, přičemž 0 ≤ e < 1 (pro kružnici e = 0).
Další užitečné vztahy a vlastnosti:
- Parametrická rovnice: x = h + a cos t, y = k + b sin t, pro t ∈ [0, 2π].
- Obsah elipsy: S = πab.
- Obvod nelze vyjádřit elementární funkcí; jednou z přesných forem je integrál eliptického typu. Přibližná formule (Ramanujanova) je: P ≈ π[3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b))].
Otázky a odpovědi
Otázka: Co je to elipsa?
A: Elipsa je tvar, který vypadá jako ovál nebo zploštělý kruh. V geometrii je to rovinná křivka, která vznikne průsečíkem kužele s rovinou tak, že vznikne uzavřená křivka.
Otázka: Jak se vytváří elipsa?
Odpověď: Elipsu lze vytvořit tak, že do kartonu zapíchneme dva špendlíky, kolem těchto dvou špendlíků obtočíme provázek, do smyčky vložíme tužku a táhneme co nejdále, aniž bychom provázek přetrhli ve všech směrech.
Otázka: Jaké jsou zvláštní případy kružnic?
Odpověď: Kružnice jsou speciálními případy elipsy, které vznikají, když je rovina řezu kolmá na osu kužele.
Otázka: Kolik ohnisek má elipsa?
Odpověď: Elipsa má dvě ohniska.
Otázka: Jaká rovnice popisuje elipsu?
Odpověď: Rovnice pro elipsu je (x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1, kde h a k představují střed elipsy a 2a představuje délku od každého konce delší strany elipsy, zatímco 2b představuje délku mezi oběma konci její kratší strany. C představuje délku mezi jejím ohniskem a středem, takže A²-B²=C².
Otázka: Kde se setkáváme s příklady eliptických oběžných drah?
Odpověď: Eliptické dráhy můžeme vidět u planet, jejichž ohniskem je Slunce.
Související články
Autor
AlegsaOnline.com Elipsa (rovinná křivka): definice, vlastnosti, rovnice a použití v astronomii Leandro Alegsa
URL: https://cs.alegsaonline.com/art/30959
Zdroje
- commons.wikimedia.org : Ellipses