Taylorova řada

S myšlenkou této řady přišel jako první starořecký filozof Zenon z Eleje. Výsledkem je paradox zvaný "Zenonova parodoxie". Domníval se, že není možné sečíst nekonečný počet hodnot a jako výsledek získat jedinou konečnou hodnotu.

Jiný řecký filozof, Aristoteles, přišel s odpovědí na filozofickou otázku. S matematickým řešením však přišel Archimédes, který použil svou metodu vyčerpání. Dokázal, že když něco rozdělíme na nekonečné množství malých kousků, po sečtení všech dohromady z nich vznikne jediný celek. Totéž dokázal o několik set let později staročínský matematik Liou Chuej.

Nejstaršími známými příklady Taylorovy série jsou práce Mádhavy ze Saňgamágrámy v Indii z roku 1300. Pozdější indičtí matematici psali o jeho práci s trigonometrickými funkcemi sinus, kosinus, tangens a arktangens. Žádný z Mádhavových spisů ani záznamů se dodnes nedochoval. Další matematici vycházeli z Mādhavových objevů a s těmito řadami pracovali více až do roku 1500.

V této oblasti pracoval v roce 1600 skotský matematik James Gregory. Gregory studoval Taylorovy řady a publikoval několik Maclaurinových řad. V roce 1715 objevil Brook Taylor obecnou metodu, jak aplikovat řady na všechny funkce. (Všechny předchozí výzkumy ukazovaly, jak metodu aplikovat pouze na konkrétní funkce.) Colin Maclaurin publikoval v roce 1700 speciální případ Taylorovy řady. Tato řada, která vychází z okolí nuly, se nazývá Maclaurinova řada.

Taylorovu řadu lze použít k popisu libovolné funkce ƒ(x), která je hladkou funkcí (neboli, v matematické terminologii, "nekonečně diferencovatelnou"). Taylorova řada se pak používá k popisu toho, jak funkce vypadá v okolí nějakého čísla a.

Tato Taylorova řada, zapsaná jako mocninná řada, vypadá takto:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . }

Tento vzorec lze také zapsat v sigma notaci jako:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}}\,(x-a)^{n}}

Zde n! je faktoriál n. ƒ ⁽ⁿ⁾(a) je n-tá derivace ƒ v bodě a. a {\displaystyle a} je číslo v oboru funkce. Pokud je Taylorova řada funkce rovna této funkci, nazývá se funkce "analytická funkce".

Řada Maclaurin

Když a = 0 {\displaystyle a=0} , funkce se nazývá Maclaurinova řada. Maclaurinova řada zapsaná jako mocninná řada vypadá takto:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . }

Maclaurinova řada zapsaná v sigma notaci je:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}}

Některé důležité Taylorovy a Maclaurinovy řady jsou následující.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ pro všechna x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ pro všechna }}x\! }

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ pro všechna x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ pro všechna }}x\! }

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 pro všechna x {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ pro všechna }}x\! }

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n pro všechna x {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ pro všechna }}x\! }

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ pro všechna x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ pro všechna }}x\! }

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ pro všechny | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ pro všechny }}|x|<1}

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n pro všechny | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{text{ pro všechny }}|x|<1}

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ pro | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ pro }}|x|<{\frac {\pi }{2}}! }

Kde B n {\displaystyle B_{n}} je n-té Bernoulliho číslo a ln {\displaystyle \ln } je přirozený logaritmus.