Matematická analýza: přehled, základní pojmy a aplikace

Limity

Příkladem pro matematickou analýzu jsou limity. Limity se používají ke zjištění, co se děje v těsné blízkosti věcí. Limity lze také použít ke zjištění, co se stane, když se věci velmi zvětší. Například 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} není nikdy nula, ale s rostoucím n se 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} blíží nule. Limita 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} je s rostoucím n nulová. Obvykle se říká: "Limita 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}} , když n jde do nekonečna, je nulová". Zapisuje se jako lim n → ∞ 1 n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0} .

Protějšek by byl 2 × n {\displaystyle {2}\krát {n}}. . Když se n {\displaystyle {n}} zvětšuje, limita jde do nekonečna. Zapisuje se jako lim n → ∞ 2 × n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{2}\times {n}=\infty }. .

Základní větu algebry lze dokázat z některých základních výsledků komplexní analýzy. Říká, že každý polynom f ( x ) {\displayystyle f(x)} s reálnými nebo komplexními koeficienty má komplexní kořen. Kořen je číslo x, které dává řešení f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} . Některé z těchto kořenů mohou být stejné.

Diferenciální počet

Funkce f ( x ) = m x + c {\displaystyle f(x)={m}{x}+{c}} je přímka. M {\displaystyle {m}} ukazuje sklon funkce a c {\displaystyle {c}} ukazuje polohu funkce na ordinátě. Se dvěma body na přímce lze vypočítat sklon m {\displaystyle {m}} pomocí:

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}} .

Funkce tvaru f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} , která není lineární, nelze vypočítat výše uvedeným způsobem. Sklon je možné vypočítat pouze pomocí tečen a sekant. Sekanta prochází dvěma body, a když se tyto dva body přiblíží, změní se v tečnu.

Nový vzorec je m = f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}} .

Tomu se říká rozdílový kvocient. Objekt x 1 {\displaystyle x_{1}} se nyní přiblíží k objektu x 0 {\displaystyle x_{0}}. . To lze vyjádřit následujícím vzorcem:

f ′ ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 {\displaystyle f'(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}} .

Výsledek se nazývá derivace nebo sklon f v bodě x {\displaystyle {x}}. .

Integrace

Integrace se týká výpočtu ploch.

Symbol ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}

se čte jako "integrál funkce f od a do b" a označuje plochu mezi osou x, grafem funkce f a přímkami x=a a x=b. Bod a {\displaystyle a} je bod, kde by oblast měla začínat, a bod b {\displaystyle b} je místo, kde oblast končí.

Některá témata analýzy jsou:

• Calculus
• Komplexní analýza
• Funkční analýza
• Numerická analýza

Některé užitečné myšlenky v analýze jsou:

• Série
• Sekvence
• Deriváty
• Integrály