Algebraická geometrie

Algebraická geometrie je obor matematiky zabývající se studiem polynomiálních rovnic. Moderní algebraická geometrie je založena na abstraktnějších technikách abstraktní algebry, zejména komutativní algebry, s jazykem a problémy geometrie.

Hlavním předmětem studia algebraické geometrie jsou algebraické variety, které jsou geometrickým projevem množin řešení soustav polynomiálních rovnic. Příklady nejstudovanějších tříd algebraických variet jsou: rovinné algebraické křivky, mezi něž patří přímky, kružnice, paraboly, elipsy, hyperboly, kubické křivky jako eliptické křivky a kvartické křivky jako lemniscaty a Cassiniho ovály. Bod roviny patří k algebraické křivce, pokud jeho souřadnice splňují danou polynomiální rovnici. Základní otázky zahrnují studium bodů zvláštního zájmu, jako jsou singulární body, inflexní body a body v nekonečnu. Pokročilejší otázky zahrnují topologii křivky a vztahy mezi křivkami danými různými rovnicemi.

Algebraická geometrie zaujímá v moderní matematice ústřední místo. Pojmy, které používá, ji spojují s tak různorodými obory, jako je komplexní analýza, topologie a teorie čísel. Zpočátku se algebraická geometrie zabývala studiem soustav polynomiálních rovnic v několika proměnných. Algebraická geometrie začíná tam, kde končí řešení rovnic: V mnoha případech je důležitější najít vlastnosti, které mají všechna řešení dané soustavy rovnic, než najít konkrétní řešení: to vede do jedněch z nejhlubších oblastí celé matematiky, a to jak po stránce koncepční, tak po stránce technické.

Ve 20. století se algebraická geometrie rozdělila na několik podoblastí.

• Hlavní proud algebraické geometrie se věnuje studiu komplexních bodů algebraických variet a obecněji bodů se souřadnicemi v algebraicky uzavřeném poli.
• Studium bodů algebraické variety se souřadnicemi v oboru racionálních čísel nebo v oboru čísel se stalo aritmetickou geometrií (nebo klasičtěji Diofantovskou geometrií), podoborem algebraické teorie čísel.
• Studiem reálných bodů algebraické variety se zabývá reálná algebraická geometrie.
• Velká část teorie singularit je věnována singularitám algebraických variet.
• Když se rozšířily počítače, vznikl obor nazvaný "výpočetní algebraická geometrie". Zabývá se průnikem algebraické geometrie a počítačové algebry. Zabývá se vývojem algoritmů a softwaru pro studium a zjišťování vlastností explicitně daných algebraických variet.

Velká část vývoje hlavního proudu algebraické geometrie ve 20. století se odehrávala v abstraktním algebraickém rámci, přičemž stále větší důraz byl kladen na "vnitřní" vlastnosti algebraických variet, které nezávisí na žádném konkrétním způsobu zasazení variety do okolního souřadnicového prostoru. Vývoj v topologii, diferenciální a komplexní geometrii probíhal podobně. Jedním z klíčových úspěchů této abstraktní algebraické geometrie je Grothendieckova teorie schémat, která umožňuje využívat teorii snopců ke studiu algebraických variet způsobem, který je velmi podobný jejímu využití při studiu diferenciálních a analytických množin. Toho se dosáhne rozšířením pojmu bodu: V klasické algebraické geometrii lze bod afinní variety ztotožnit prostřednictvím Hilbertovy Nullstellensatz s maximálním ideálem souřadnicového kruhu, zatímco body příslušného afinního schématu jsou všechny prvočíselné ideály tohoto kruhu. To znamená, že bod takového schématu může být buď obvyklým bodem, nebo podvarietou. Tento přístup také umožňuje sjednotit jazyk a nástroje klasické algebraické geometrie, zabývající se především komplexními body, a algebraické teorie čísel. Wilesův důkaz dlouholeté domněnky zvané Fermatova poslední věta je příkladem síly tohoto přístupu.

Otázky a odpovědi

Otázka: Co je to algebraická geometrie?

Otázka: Jaké techniky se používají v moderní algebraické geometrii?

Otázka: Jaký typ rovnic studuje algebraická geometrie?

Otázka: Jak využívá abstraktní algebru?

Otázka: Existuje nějaký specifický typ jazyka, který se v tomto oboru používá?

Otázka: Jak ovlivnila tento obor moderní technologie?

Hledání podle dopisu