Algebraická varieta: definice, Nullstellensatz a příklady
Algebraická varieta: přehled definice, Hilbertův Nullstellensatz a ilustrativní příklady — srozumitelně vysvětlené základy algebraické geometrie.
V matematice jsou algebraické variety (nazývané také variety) jedním z ústředních objektů studia algebraické geometrie. Původní, „klasická“ definice popisuje algebraickou varietu jako množinu společných řešení soustavy polynomiálních rovnic v konečně mnoha proměnných nad nějakým tělesem (typicky nad reálnými nebo komplexními čísly). Moderní přístup tuto představu zobecňuje a formuluje varietu prostřednictvím algebraických a topologických konstrukcí (např. Zariskiho topologie či jako schéma), přičemž si zachovává geometrickou intuici původní definice.
Definice a základní pojmy
Formálně se často pracuje s afinní varietou V v afinním prostoru k^n nad algebraicky uzavřeným tělesem k. Definujeme
- ideál I ⊂ k[x1,…,xn] generovaný danými polynomy,
- algebraickou množinu V(I) = {p ∈ k^n | f(p)=0 pro všechna f ∈ I},
- a varietu pak chápeme jako takovou algebraickou množinu (případně jako neredukovatelnou algebraickou množinu, podle konvencí autorů).
Zariskiho topologie a neredukovatelnost
Konvence týkající se definice algebraické variety se liší: Někteří autoři vyžadují, aby "algebraická variety" byla podle definice neredukovatelná (což znamená, že není sjednocením dvou menších množin, které jsou uzavřené v Zariskiho topologii), zatímco jiní ne. Pokud se používá první konvence, nazývají se neredukovatelné algebraické variety algebraickými množinami.
V Zariskiho topologii jsou uzavřené množiny právě algebraické množiny V(I). Neredukovatelnost odpovídá tomu, že množina nelze vyjádřit jako sjednocení dvou vlastních uzavřených podmnožin; algebraicky to znamená, že odpovídající ideál (pořízený jako radikál) je prvoideál a že koordinátní kruh je integrální obor.
Varieta vs. mnohotvárnost
Pojem variety je podobný pojmu mnohotvárnosti. Rozdíl mezi varietou a mnohotvárností spočívá v tom, že varieta může mít singulární body, zatímco mnohotvárnost nikoli.
Konkrétně: mnohotvárnost (manifold) je hladký geometrický objekt lokálně difeomorfní eukleidovskému prostoru — tedy bez singularit. Varieta může mít singularity (body, kde neplatí „lokální hladkost“), a proto pojem variety je obecnější. Nicméně v případě hladkých (= nonsingulárních) algebraických variet se oba pojmy často shodují (při práci nad R nebo C a s vhodnými podmínkami).
Hilbertova Nullstellensatz
Základní věta algebry, prokázaná kolem roku 1800, vytváří spojení mezi algebrou a geometrií tím, že ukazuje, že monický polynom v jedné proměnné s komplexními koeficienty (algebraický objekt) je určen množinou svých kořenů (geometrický objekt).
Hilbertův Nullstellensatz zobecňuje tuto myšlenku do vícerozměrného nastavení. Ve formulaci pro algebraicky uzavřené těleso k říká (zjednodušeně):
- Slabý Nullstellensatz: pokud I je vlastní ideál v k[x1,…,xn], pak V(I) ≠ ∅ (tj. existuje společné řešení polynomů z I v k^n).
- Sílý (nebo „radikálový“) Nullstellensatz: pro libovolný ideál I platí I(V(I)) = √I (radikál ideálu I). Jinými slovy, radikál ideálu je přesně množina polynomů, které se nulují na všech bodech V(I).
Koordinátní kruh a algebra-geometrická korespondence
Pro afinní varietu V ⊂ k^n definujeme koordinátní kruh k[V] = k[x1,…,xn]/I(V). Tento kruh zachycuje „algebraické funkce“ na varietě. Důležité vlastnosti:
- V je neredukovatelná právě když k[V] je integrální obor.
- dimenze variety odpovídá dimenzi (Krullově dimenzi) koordinátního kruhu.
- Mnoho geometrických otázek (oplývání funkcí, mapy mezi varietami, lokální vlastnosti) se překládá do otázek o morfismech kruhů, jejich ideálech a modulech.
Příklady
- Rovina a přímky: rovina k^2 je nejjednodušší afinní varieta. Přímka definovaná jedním lineárním polynomem ax+by+c=0 je varietou dimenze 1.
- Kružnice: nad reálnými čísly je množina { (x,y) ∈ R^2 | x^2+y^2−1=0 } algebraickou množinou, avšak nad C je stejné rovnice komplexní kužel — geometrické vlastnosti se liší podle tělesa koeficientů.
- Křivky s singularitami: rovnice y^2 = x^3 (cuspidální křivka) má v počátku singularitu (cuspid), zatímco y^2 = x^3 + x^2 má uzlový bod (node). Tyto singularity zásadně ovlivňují místní geometrii a algebraické vlastnosti koordinátního kruhu.
- Projectivní varianty: mnoho geometricky důležitých variet (např. eliptické křivky) se přirozeně vyskytuje v projektivním prostoru; projektivizace zabraňuje „uvolnění“ asymptot a umožňuje homogenní formy a kvocienty.
Singularity, dimenze a dotykový prostor
Pro bod p ∈ V definujeme lineárně aproximující prostor — tangentní prostor — jako řešení lineárních aproximací polynomů v ideálu I(V) v bodě p. Bod p je hladký (nonsingular) právě tehdy, když dimenze tangentního prostoru v p rovná lokální dimenzi variety; jinak je p singularita. Analýza singularit je důležitá při klasifikaci variet a při studiu jejich topologických a analytických vlastností.
Obecnější pohledy
Dnešní algebraická geometrie často pracuje s pojmem schéma, který rozšiřuje pojem variety a umožňuje například práci nad libovolným prstencem (nejen nad polem), zapojení nilpotentních prvků a lepší zacházení s lokálními vlastnostmi. Nicméně mnoho základních intuic o varietách — např. korespondence mezi ideály a geometrickými množinami, role Nullstellensatze, pojem dimenze a singularit — zůstává nezměněno a je základem dalšího rozvoje oboru.
Závěrem
Hilbertova Nullstellensatz poskytuje základní korespondenci mezi ideály polynomiálních kruhů a algebraickými množinami. Pomocí Nullstellensatze a souvisejících výsledků matematici vytvořili silnou korespondenci mezi otázkami algebraických množin a otázkami teorie kruhů. Tato korespondence je specifikem algebraické geometrie mezi ostatními podoblastmi geometrie.
Zkroucené krychle jsou projektivní algebraické variety.
Otázky a odpovědi
Otázka: Co jsou to algebraické variety?
Odpověď: Algebraické variety jsou jedním z ústředních objektů studia algebraické geometrie. Jsou definovány jako množina řešení soustavy polynomiálních rovnic nad reálnými nebo komplexními čísly.
Otázka: Jak se moderní definice liší od původní definice?
Odpověď: Moderní definice se snaží zachovat geometrickou intuici, která stojí za původní definicí, a zároveň ji zobecnit. Někteří autoři vyžadují, aby "algebraická variety" byla podle definice neredukovatelná (což znamená, že není sjednocením dvou menších množin, které jsou v Zariskiho topologii uzavřené), zatímco jiní to nevyžadují.
Otázka: Jaký je jeden z rozdílů mezi varietou a množinou?
Odpověď: Varieta může mít singulární body, zatímco mnohostěn nikoli.
Otázka: Co stanoví základní věta algebry?
Odpověď: Základní věta algebry vytváří spojení mezi algebrou a geometrií tím, že ukazuje, že monický polynom v jedné proměnné s komplexními koeficienty (algebraický objekt) je určen množinou svých kořenů (geometrický objekt).
Otázka: Co poskytuje Hilbertova Nullstellensatz?
A: Hilbertův Nullstellensatz poskytuje základní korespondenci mezi ideály polynomiálních kruhů a algebraickými množinami.
Otázka: Jak tuto korespondenci matematici využívají?
Odpověď: Matematici pomocí této korespondence vytvořili silnou korespondenci mezi otázkami algebraických množin a otázkami teorie kruhů.
Otázka: Čím je tato konkrétní oblast jedinečná mezi ostatními podoblastmi geometrie? Odpověď: Tato silná korespondence mezi otázkami algebraických množin a otázkami teorie kruhů činí tuto konkrétní oblast jedinečnou mezi ostatními podoblastmi geometrie.
Vyhledávání