Algebraická varieta
V matematice jsou algebraické variety (nazývané také variety) jedním z ústředních objektů studia algebraické geometrie. První definice algebraické variety ji definovaly jako množinu řešení soustavy polynomiálních rovnic nad reálnými nebo komplexními čísly. Moderní definice algebraické variety tento pojem zobecňují, přičemž se snaží zachovat geometrickou intuici, která stála za původní definicí.
Konvence týkající se definice algebraické variety se liší: Někteří autoři vyžadují, aby "algebraická variety" byla podle definice neredukovatelná (což znamená, že není sjednocením dvou menších množin, které jsou uzavřené v Zariskiho topologii), zatímco jiní ne. Pokud se používá první konvence, nazývají se neredukovatelné algebraické variety algebraickými množinami.
Pojem variety je podobný pojmu mnohotvárnosti. Rozdíl mezi varietou a mnohotvárností spočívá v tom, že varieta může mít singulární body, zatímco mnohotvárnost nikoli. Základní věta algebry, prokázaná kolem roku 1800, vytváří spojení mezi algebrou a geometrií tím, že ukazuje, že monický polynom v jedné proměnné s komplexními koeficienty (algebraický objekt) je určen množinou svých kořenů (geometrický objekt). Zobecněním tohoto výsledku poskytuje Hilbertova Nullstellensatz základní korespondenci mezi ideály polynomiálních kruhů a algebraickými množinami. Pomocí Nullstellensatze a souvisejících výsledků matematici vytvořili silnou korespondenci mezi otázkami algebraických množin a otázkami teorie kruhů. Tato korespondence je specifikem algebraické geometrie mezi ostatními podoblastmi geometrie.
Zkroucené krychle jsou projektivní algebraické variety.
Otázky a odpovědi
Otázka: Co jsou to algebraické variety?
Odpověď: Algebraické variety jsou jedním z ústředních objektů studia algebraické geometrie. Jsou definovány jako množina řešení soustavy polynomiálních rovnic nad reálnými nebo komplexními čísly.
Otázka: Jak se moderní definice liší od původní definice?
Odpověď: Moderní definice se snaží zachovat geometrickou intuici, která stojí za původní definicí, a zároveň ji zobecnit. Někteří autoři vyžadují, aby "algebraická variety" byla podle definice neredukovatelná (což znamená, že není sjednocením dvou menších množin, které jsou v Zariskiho topologii uzavřené), zatímco jiní to nevyžadují.
Otázka: Jaký je jeden z rozdílů mezi varietou a množinou?
Odpověď: Varieta může mít singulární body, zatímco mnohostěn nikoli.
Otázka: Co stanoví základní věta algebry?
Odpověď: Základní věta algebry vytváří spojení mezi algebrou a geometrií tím, že ukazuje, že monický polynom v jedné proměnné s komplexními koeficienty (algebraický objekt) je určen množinou svých kořenů (geometrický objekt).
Otázka: Co poskytuje Hilbertova Nullstellensatz?
A: Hilbertův Nullstellensatz poskytuje základní korespondenci mezi ideály polynomiálních kruhů a algebraickými množinami.
Otázka: Jak tuto korespondenci matematici využívají?
Odpověď: Matematici pomocí této korespondence vytvořili silnou korespondenci mezi otázkami algebraických množin a otázkami teorie kruhů.
Otázka: Čím je tato konkrétní oblast jedinečná mezi ostatními podoblastmi geometrie? Odpověď: Tato silná korespondence mezi otázkami algebraických množin a otázkami teorie kruhů činí tuto konkrétní oblast jedinečnou mezi ostatními podoblastmi geometrie.
