Logika: věda o správném uvažování, výrocích a důkazech

Logické výroky lze zapsat zvláštním typem krátkého zápisu, který se nazývá symbolická logika. Tyto symboly se používají k abstraktnímu popisu logického uvažování.

• ∧ {\displaystyle \land } se čte jako "a", což znamená, že platí oba příkazy.
• ∨ {\displaystyle \lor } se čte jako "nebo", což znamená, že platí alespoň jeden z příkazů.
• → {\displaystyle \pravá šipka } se čte jako "implikuje", "jsou" nebo "Jestliže ... pak ...". Představuje výsledek logického výroku.
• ¬ {\displaystyle \lnot } se čte jako "není" nebo "není případ, že ...".
• ∴ {\displaystyle \therefore } se čte jako "proto", které se používá k označení závěru logického argumentu.
• ( ) {\displaystyle ()} se čte jako "závorky". Seskupují logické příkazy dohromady. Příkazy v závorkách by měly být vždy uvažovány jako první, podle pořadí logických operací.

Zde je předchozí sylogismus zapsaný v symbolické logice.

( ( h u m a n → m o r t a l ) ∧ ( A r i s t o t l e → h u m a n ) ) → ( A r i s t o t l e → m o r t a l ) {\displaystyle {\rm {((člověk\pravá šipka smrtelný)\země (Aristoteles\pravá šipka člověk))\pravá šipka (Aristoteles\pravá šipka smrtelný)}}}

Pokud nahradíme anglická slova písmeny, můžeme sylogismus ještě zjednodušit. Stejně jako matematické symboly pro operace, jako je sčítání a odčítání, odděluje symbolická logika abstraktní logiku od významu původních výroků v anglickém jazyce. Díky těmto abstraktním symbolům mohou lidé studovat čistou logiku bez použití specifického spisovného jazyka.

( ( a → b ) ∧ ( c → a ) ) → ( c → b ) {\displaystyle ((a\pravá šipka b)\land (c\pravá šipka a))\pravá šipka (c\pravá šipka b)}

Nyní je sylogismus zapsán co nejabstraktněji a nejjednodušeji. Byly odstraněny všechny rušivé prvky, jako jsou anglická slova. Tento argument pochopí každý, kdo rozumí logické symbolice.

Logický důkaz je seznam výroků seřazených v určitém pořadí, které mají dokázat logickou pointu. Každé tvrzení v důkazu je buď předpokladem učiněným pro účely argumentace, nebo bylo dokázáno, že vyplývá z předchozích tvrzení v důkazu. Všechny důkazy musí začínat nějakým předpokladem, například "lidé existují" v našem prvním sylogismu. Důkaz ukazuje, že jedno tvrzení, závěr, vyplývá z výchozích předpokladů. Pomocí důkazu můžeme dokázat, že tvrzení "Aristoteles je smrtelný" logicky vyplývá z tvrzení "Aristoteles je člověk" a "Všichni lidé jsou smrtelní".

Některá tvrzení jsou vždy pravdivá. Takovému tvrzení se říká tautologie. Jedna z oblíbených klasických tautologií, připisovaná filozofovi Parmenidovi z Eleje, říká: "Co je, to je. Co není, není." To v podstatě znamená, že pravdivé výroky jsou pravdivé a nepravdivé výroky jsou nepravdivé. Jak vidíte, tautologie nemusí být vždy užitečné při vytváření logických argumentů.

Tautologie je v symbolické logice reprezentována jako ( a ∨ ¬ a ) {\displayystyle (a\lor \lnot a)} , což znamená "buď a, nebo ne a". Za předpokladu, že neexistují žádné nezmíněné možnosti, pokrývá to všechny možné případy.

Protože logika je nástroj, který slouží k racionálnějšímu myšlení, lze ji využít nesčetnými způsoby. Symbolická logika se používá všude možně, od filozofických pojednání až po složité matematické rovnice. Počítače používají pravidla logiky ke spouštění algoritmů, které umožňují počítačovým programům rozhodovat na základě dat.

Logika má zásadní význam pro čistou matematiku, statistiku a analýzu dat. Lidé, kteří studují matematiku, vytvářejí důkazy, které používají logická pravidla k prokázání správnosti matematických faktů. Existuje oblast matematiky zvaná matematická logika, která studuje logiku pomocí matematiky.

Logika se studuje také ve filozofii.

• Návrh
• Principia Mathematica