Hyperbolická geometrie

Neprotínající se čáry

Z výskytu více než jedné rovnoběžné přímky procházející bodem P vyplývá zajímavá vlastnost hyperbolické geometrie: existují dvě třídy neprotínajících se přímek. Nechť B je bod na l takový, že přímka PB je kolmá na l. Uvažujme přímku x procházející bodem P takovou, že x neprotíná l a úhel θ mezi PB a x proti směru hodinových ručiček od PB je co nejmenší; tj. jakýkoli menší úhel donutí přímku protnout l. Taková přímka se v hyperbolické geometrii nazývá asymptotická přímka. Symetricky bude asymptotická i přímka y, která mezi PB a sebou svírá stejný úhel θ, ale ve směru hodinových ručiček od PB. x a y jsou jediné dvě přímky asymptotické k l procházející P. Všechny ostatní přímky procházející P, které neprotínají l a svírají s PB úhel větší než θ, se nazývají ultraparalelní (nebo disjunktně rovnoběžné) s l. Všimněte si, že jelikož existuje nekonečný počet možných úhlů mezi θ a 90 stupni a každý z nich určí dvě přímky procházející P a disjunktně rovnoběžné s l, existuje nekonečný počet ultraparalelních přímek.

Máme tedy tuto modifikovanou podobu paralelního postulátu: V hyperbolické geometrii platí, že pokud je dána libovolná přímka l a bod P, který neleží na l, existují přesně dvě přímky procházející bodem P, které jsou asymptotické k l, a nekonečně mnoho přímek procházejících bodem P, které jsou ultraparalelní k l.

Na rozdíly mezi těmito typy přímek lze nahlížet také následujícím způsobem: vzdálenost mezi asymptotickými přímkami se v jednom směru rovná nule a v druhém směru roste bez omezení; vzdálenost mezi ultraparalelními přímkami roste v obou směrech. Ultraparalelní věta říká, že v hyperbolické rovině existuje jedinečná přímka, která je kolmá ke každé z dané dvojice ultraparalelních přímek.

V euklidovské geometrii je úhel rovnoběžnosti konstantní, to znamená, že jakákoli vzdálenost ‖ B P ‖ {\displaystyle \lVert BP\rVert } mezi rovnoběžnými přímkami dává úhel rovnoběžnosti rovný 90°. V hyperbolické geometrii se úhel rovnoběžnosti mění pomocí funkce Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)}. Tato funkce, kterou popsal Nikolaj Ivanovič Lobačevskij, vytváří jedinečný úhel rovnoběžnosti pro každou vzdálenost p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } . Se zmenšující se vzdáleností se Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} blíží 90°, zatímco s rostoucí vzdáleností se Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} blíží 0°. S rostoucí vzdáleností se tedy hyperbolická rovina chová stále více jako euklidovská geometrie. Na malých škálách ve srovnání s 1- K {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-K}}}} , kde K {\displaystyle K\! } je (konstantní) Gaussova křivost roviny, by pozorovatel jen těžko určil, zda se nachází v euklidovské nebo hyperbolické rovině.

Historie

O důkaz paralelního postulátu se pokoušela řada geometrů, například Omar Chajjám, později Giovanni Gerolamo Saccheri, John Wallis, Lambert a Legendre. Jejich pokusy byly neúspěšné, ale jejich úsilí dalo vzniknout hyperbolické geometrii. Alhacenovy věty, Chajjámovy věty o čtyřúhelnících byly prvními větami o hyperbolické geometrii. Jejich práce o hyperbolické geometrii měly vliv na její vývoj u pozdějších evropských geometrů, včetně Witela, Alfonsa a Johna Wallise.

V devatenáctém století se hyperbolickou geometrií zabývali János Bolyai a Nikolaj Ivanovič Lobačevskij, po němž je někdy pojmenována. Lobačevskij ji publikoval v roce 1830, zatímco Bolyai ji nezávisle objevil a publikoval v roce 1832. Hyperbolickou geometrií se zabýval také Karl Friedrich Gauss, který v dopise Taurinovi z roku 1824 popsal, že ji sestrojil, ale svou práci nepublikoval. V roce 1868 Eugenio Beltrami poskytl její modely a využil je k důkazu, že hyperbolická geometrie je konzistentní, pokud je euklidovská geometrie.

Termín "hyperbolická geometrie" zavedl Felix Klein v roce 1871. Další historii naleznete v článku o neeuklidovské geometrii.

Modely hyperbolické roviny

Pro hyperbolickou geometrii se běžně používají tři modely: Kleinův model, model Poincarého disku a Lorentzův model neboli model hyperboloidu. Tyto modely definují reálný hyperbolický prostor, který splňuje axiomy hyperbolické geometrie. Navzdory pojmenování zavedl oba diskové modely a model půlplochy jako modely hyperbolického prostoru Beltrami, nikoli Poincaré nebo Klein.

1. Kleinův model, známý také jako model projektivního disku nebo Beltramiho-Kleinův model, používá pro hyperbolickou rovinu vnitřek kruhu a jako přímky se používají tětivy kruhu.
2. Poincaréův model poloviny roviny považuje polovinu euklidovské roviny, určenou euklidovskou přímkou B, za hyperbolickou rovinu (samotná B není zahrnuta).
• Hyperbolické přímky jsou pak buď půlkruhy kolmé na B, nebo paprsky kolmé na B.
• Oba Poincarého modely zachovávají hyperbolické úhly, a jsou tedy konformní. Všechny izometrie v rámci těchto modelů jsou tedy Möbiovy transformace.
• Poloplošný model je na okraji disku totožný (na hranici) s Poincarého modelem disku.
• Tento model je přímo použitelný pro speciální teorii relativity, protože Minkowského 3-prostor je modelem pro prostoročas, který potlačuje jeden prostorový rozměr. Hyperboloid můžeme brát jako reprezentaci událostí, kterých různí pohybující se pozorovatelé, vyzařující v prostorové rovině z jednoho bodu, dosáhnou za pevný vlastní čas. Hyperbolickou vzdálenost mezi dvěma body na hyperboloidu pak lze ztotožnit s relativní rychlostí mezi dvěma odpovídajícími pozorovateli.

Poincarého diskový model velkého kosočtvercového obkladu {3,7}

Vizualizace hyperbolické geometrie

M. Slavné grafiky C. Eschera Circle Limit III a Circle Limit IV dobře ilustrují konformní model disku. Na obou je vidět geodetika. (Na III nejsou bílé čáry geodetikami, ale hypercykly, které jdou podél nich.) Je zde také zcela jasně vidět záporné zakřivení hyperbolické roviny, a to prostřednictvím jejího vlivu na součet úhlů v trojúhelnících a čtvercích.

V euklidovské rovině by jejich úhly v součtu činily 450°, tj. kruh a čtvrt. Z toho vyplývá, že součet úhlů trojúhelníku v hyperbolické rovině musí být menší než 180°. Další viditelnou vlastností je exponenciální růst. Například ve čtvrtém limitu kruhu je vidět, že počet andělů a démonů ve vzdálenosti n od středu exponenciálně roste. Démoni mají stejnou hyperbolickou plochu, takže plocha koule o poloměru n musí růst exponenciálně v n.

Existuje několik způsobů, jak fyzicky realizovat hyperbolickou rovinu (nebo její aproximaci). Zvláště známý papírový model založený na pseudosféře je zásluhou Williama Thurstona. K demonstraci hyperbolických rovin bylo použito umění háčkování, přičemž první z nich vytvořila Daina Taimina. V roce 2000 předvedl Keith Henderson rychle vyrobitelný papírový model nazvaný "hyperbolický fotbalový míč".

Sbírka háčkovaných hyperbolických plošek v imitaci korálového útesu od Institutu pro figurální tvorbu (Institute For Figuring).