Z výskytu více než jedné rovnoběžné přímky procházející bodem P vyplývá zajímavá vlastnost hyperbolické geometrie: existují dvě třídy neprotínajících se přímek. Nechť B je bod na l takový, že přímka PB je kolmá na l. Uvažujme přímku x procházející bodem P takovou, že x neprotíná l a úhel θ mezi PB a x proti směru hodinových ručiček od PB je co nejmenší; tj. jakýkoli menší úhel donutí přímku protnout l. Taková přímka se v hyperbolické geometrii nazývá asymptotická přímka. Symetricky bude asymptotická i přímka y, která mezi PB a sebou svírá stejný úhel θ, ale ve směru hodinových ručiček od PB. x a y jsou jediné dvě přímky asymptotické k l procházející P. Všechny ostatní přímky procházející P, které neprotínají l a svírají s PB úhel větší než θ, se nazývají ultraparalelní (nebo disjunktně rovnoběžné) s l. Všimněte si, že jelikož existuje nekonečný počet možných úhlů mezi θ a 90 stupni a každý z nich určí dvě přímky procházející P a disjunktně rovnoběžné s l, existuje nekonečný počet ultraparalelních přímek.
Máme tedy tuto modifikovanou podobu paralelního postulátu: V hyperbolické geometrii platí, že pokud je dána libovolná přímka l a bod P, který neleží na l, existují přesně dvě přímky procházející bodem P, které jsou asymptotické k l, a nekonečně mnoho přímek procházejících bodem P, které jsou ultraparalelní k l.
Na rozdíly mezi těmito typy přímek lze nahlížet také následujícím způsobem: vzdálenost mezi asymptotickými přímkami se v jednom směru rovná nule a v druhém směru roste bez omezení; vzdálenost mezi ultraparalelními přímkami roste v obou směrech. Ultraparalelní věta říká, že v hyperbolické rovině existuje jedinečná přímka, která je kolmá ke každé z dané dvojice ultraparalelních přímek.
V euklidovské geometrii je úhel rovnoběžnosti konstantní, to znamená, že jakákoli vzdálenost ‖ B P ‖ {\displaystyle \lVert BP\rVert } 
mezi rovnoběžnými přímkami dává úhel rovnoběžnosti rovný 90°. V hyperbolické geometrii se úhel rovnoběžnosti mění pomocí 
funkce Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)}. Tato funkce, kterou popsal Nikolaj Ivanovič Lobačevskij, vytváří jedinečný úhel rovnoběžnosti pro každou vzdálenost p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } 
. Se zmenšující se vzdáleností se Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} blíží 90°, zatímco s rostoucí vzdáleností se Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} blíží 0°. S rostoucí vzdáleností se tedy hyperbolická rovina chová stále více jako euklidovská geometrie. Na malých škálách ve srovnání s 1- K {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-K}}}} 
, kde K {\displaystyle K\! }
je (konstantní) Gaussova křivost roviny, by pozorovatel jen těžko určil, zda se nachází v euklidovské nebo hyperbolické rovině.
