Fibonacciho číslo

Fibonacciho čísla jsou matematickou posloupností čísel pojmenovanou po Leonardu z Pisy, známém jako Fibonacci. Fibonacci napsal v roce 1202 knihu Liber Abaci ("Kniha o počítání"), která tento číselný vzorec zavedla do západoevropské matematiky, ačkoli jej znali již matematici v Indii.

První číslo vzoru je 0, druhé číslo je 1 a každé další číslo se rovná součtu dvou čísel před ním. Například 0+1=1 a 3+5=8. Tato posloupnost pokračuje donekonečna.

To lze zapsat jako rekurenční vztah,

F n = F n - 1 + F n - 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}} $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$

Aby to mělo smysl, je třeba uvést alespoň dvě východiska. Zde F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0} $F_{0}=0$ a F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1} $F_{1}=1$ .

Fibonacciho spirála vytvořená protažením čtverců ve Fibonacciho dlaždici; tato spirála používá čtverce o velikosti 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 a 34; viz zlatá spirála.

Fibonacciho čísla v přírodě

Fibonacciho čísla souvisejí se zlatým řezem, který se objevuje na mnoha místech ve stavbách i v přírodě. Příkladem je vzor listů na stonku, části ananasu, kvetení artyčoku, odvíjení kapradí a uspořádání šišky. Fibonacciho čísla se vyskytují také v rodokmenu včel medonosných.

Hlavička slunečnice se spirálovitě uspořádanými kvítky 34 a 55 po vnější straně

Binetův vzorec

N-té Fibonacciho číslo lze zapsat v podobě zlatého řezu. Tím se vyhneme nutnosti používat k výpočtu Fibonacciho čísel rekurzi, která může počítači zabrat hodně času.

F n = φ n - ( 1 - φ ) n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}} $F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}$

Kde φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}} $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ , zlatý řez.

Otázky a odpovědi

Otázka: Co je Fibonacciho posloupnost?

Odpověď: Fibonacciho posloupnost je matematický vzorec čísel pojmenovaný podle Leonarda z Pisy, známého jako Fibonacci. Začíná čísly 0 a 1 a každé další číslo se rovná součtu dvou čísel těsně před ním.

Otázka: Kdo zavedl tento číselný vzorec do západoevropské matematiky?

Odpověď: Fibonacci napsal v roce 1202 knihu Liber Abaci ("Kniha o počítání"), která zavedla tento číselný vzorec do západoevropské matematiky, ačkoli matematici v Indii jej již znali.

Otázka: Jak lze Fibonacciho posloupnost zapsat?

Odpověď: Fibonacciho posloupnost lze zapsat jako rekurenční vztah, kde F_n = F_n-1 + F_n-2 pro n ≥ 2.

Otázka: Jaké jsou výchozí body této rekurenční relace?

Odpověď: Aby to dávalo smysl, musí být dány alespoň dva počáteční body. Zde je F_0 = 0 a F_1 = 1.

Otázka: Pokračuje Fibonacciho posloupnost donekonečna?

Odpověď: Ano, posloupnost pokračuje donekonečna.

Otázka: Kde se matematici poprvé dozvěděli o tomto číselném vzorci? Odpověď: Matematici v Indii znali tento číselný vzorec ještě předtím, než jej do západní Evropy zavedl Leonardo z Pisy (Fibonacci).