Zobrazení na

V matematice je surjektivní nebo onto funkce funkce f : A → B s následující vlastností. Pro každý prvek b v oboru B existuje alespoň jeden prvek a v oboru A takový, že f(a)=b. To znamená, že obor a kodomén funkce f jsou stejná množina.

Termín surjekce a související termíny injekce a bijekce zavedla skupina matematiků, která si říkala Mikuláš Bourbaki. Ve 30. letech 20. století tato skupina matematiků vydala řadu knih o moderní pokročilé matematice. Francouzská předpona sur znamená nad nebo na a byla zvolena proto, že surjektivní funkce mapuje svůj obor na svůj kodomén.

Základní vlastnosti

Formálně:

f : A → B {\displaystyle f:A\pravá šipka B} je $f:A\rightarrow B$ surjektivní funkce, jestliže ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {\displaystyle \pro všechna b\v B\,\,\existuje a\v A} taková $\forall b\in B\,\,\exists a\in A$ , že f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. } $f(a)=b\,.$

Prvek b {\displaystyle b} $b$ se nazývá obraz prvku a {\displaystyle a} .

Formální definice znamená: Každý prvek spoluoblasti B je obrazem alespoň jednoho prvku v oblasti A.

Prvek a {\displaystyle a} se nazývá předobraz prvku b {\displaystyle b} $b$ .

Formální definice znamená: Každý prvek kódového oboru B má alespoň jeden předobraz v oboru A.

Předobraz nemusí být jedinečný. Na horním obrázku jsou {X} i {Y} předobrazy prvku {1}. Důležité je pouze to, aby existoval alespoň jeden předobraz. (Viz také: Injektivní funkce, Bijektivní funkce)

Příklady

Elementární funkce

Nechť f(x):ℝ→ℝ je funkce y=f(x) reálné hodnoty argumentu x. (To znamená, že vstup i výstup jsou čísla.)

Grafický význam: Funkce f je surjekce, jestliže každá vodorovná přímka protíná graf funkce f alespoň v jednom bodě.
Analytický význam: Pro každé reálné číslo y_o můžeme najít alespoň jedno reálné číslo x _otakové, že y=f_o(x_o).

Nalezení předobrazu x_o pro dané y_o je ekvivalentní oběma otázkám:

Má rovnice f(x)-y=0_o řešení? nebo
Má funkce f(x)-y_o kořen?

V matematice můžeme najít přesné (analytické) kořeny pouze polynomů prvního, druhého (a třetího) stupně. Kořeny všech ostatních funkcí nacházíme přibližně (numericky). To znamená, že formální důkaz surjektivity je málokdy přímý. Níže uvedené diskuse jsou tedy neformální.

Příklad: Příklad: Lineární funkce šikmé přímky je na. To znamená, že y=ax+b, kde a≠0 je surjekce. (Je to také injekce, a tedy bijekce.)

Důkaz: Protože a≠0, dostaneme x= (y-b_o)/_a._o To znamená, že x=_o(y-b_o)/_a je předobrazem y_o. To dokazuje, že funkce y=ax+b, kde a≠0 je surjekce. (Protože existuje přesně jeden předobraz, je tato funkce také injekcí.)

Praktický příklad: y= -2x+4. Jaký je předobraz y=2? Řešení: Zde a= -2, tj. a≠0 a otázka zní: Pro jaké x je y=2? Do funkce dosadíme y=2. Dostaneme x=1, tj. y(1)=2. Odpověď tedy zní: x=1 je předobrazem y=2.

Příklad: kubický polynom (třetího stupně) f(x)=x-3x³ je surjekce.

Diskuse: Kubická rovnice x-3x-y=0³_o má reálné koeficienty (a=1₃, a=0₂, a=-3₁, a=-y_0o). Každá taková kubická rovnice má alespoň jeden reálný kořen. Protože obor polynomu je ℝ, znamená to, že v oboru je alespoň jeden předobraz x_o. To znamená, že (x₀)³-3x-y=0_0o. Funkce je tedy surjekcí. (Tato funkce však není injekcí. Například funkce y=2_o má dva předobrazy: x=-1 a x=2. Ve skutečnosti má každé y, -2≤y≤2 alespoň 2 předobrazy.)

Příklad: Kvadratická funkce f(x) = x² není surjekcí. Neexistuje žádné x takové, aby x ²= -1. Rozsah x² je [0,+∞) , tj. množina nezáporných čísel. (Tato funkce také není injekcí.)

Poznámka: Z nesurjektivní funkce lze udělat surjekci omezením jejího oboru na prvky jejího rozsahu. Například nová funkce f_N(x):ℝ → [0,+∞), kde f_N(x) = x², je surjektivní funkce. (To není totéž jako restrikce funkce, která omezuje obor!)

Příklad: Exponenciální funkce f(x) = 10^x není surjekce. Rozsah je 10^x(0,+∞), tj. množina kladných čísel. (Tato funkce je injekcí.)

Surjekce. f(x):ℝ→ℝ (a injekce)

Surjekce. f(x):ℝ→ℝ (není injekce)

Není to surjekce. f(x):ℝ→ℝ (ani injekce)

Není to surjekce. f(x):ℝ→ℝ (ale je to injekce)

Surjekce. f(x):(0,+∞)→ℝ (a injekce)

Surjekce. z:ℝ²→ℝ, z=y. (Na obrázku je vidět, že předobrazem z=2 je přímka y=2.)

Další příklady s reálnými funkcemi

Příklad: Logaritmická funkce základu 10 f(x):(0,+∞)→ℝ definovaná vztahem f(x)=log(x) nebo y=log₁₀(x) je surjekce (a injekce). (Jedná se o inverzní funkci 10^x.)

Projekce kartézského součinu A × B na jeden z jeho činitelů je surjekce.

Příklad: Funkce f((x,y)):ℝ²→ℝ definovaná vztahem z=y je surjekce. Jejím grafem je rovina v trojrozměrném prostoru. Předobrazem z_o je přímka y=z_o v rovině xy. 0

Ve 3D hrách se trojrozměrný prostor promítá na dvourozměrnou obrazovku pomocí surjekce.

Související stránky

Otázky a odpovědi

Otázka: Co je v matematice surjektivní funkce?

Odpověď: Surjektivní funkce v matematice je funkce f: A → B, která má tu vlastnost, že pro každý prvek b v oboru B existuje alespoň jeden prvek a v oboru A takový, že f(a)=b.

Otázka: Jaký význam má surjektivní funkce v matematice?

Odpověď: Surjektivní funkce zajišťuje, že žádný prvek v kodoménu není nezobrazený a že obor a kodomén funkce f jsou stejná množina.

Otázka: Jaký je původ termínu surjekce?

Odpověď: Termín surjekce zavedla skupina matematiků zvaná Mikuláš Bourbaki.

Otázka: Jaký význam má francouzská předpona sur ve slově surjektivní?

Odpověď: Francouzská předpona sur znamená nad nebo na.

Otázka: Proč byl pro tento druh funkce zvolen termín surjektivní?

Odpověď: Termín surjektivní byl pro tento druh funkce zvolen proto, že surjektivní funkce mapuje svůj obor na svůj spoluobor.

Otázka: Kdo vydal ve 30. letech 20. století řadu knih o moderní pokročilé matematice?

Odpověď: Skupina matematiků zvaná Nicholas Bourbaki vydala ve 30. letech 20. století řadu knih o moderní pokročilé matematice.

Otázka: Co je to injekce a bijekce v matematice?

Odpověď: Injekce a bijekce jsou v matematice příbuzné termíny k surjekci. Injekční funkce zajišťuje, že žádné dva prvky v oboru nejsou mapovány na stejný prvek v kódovém oboru. Funkce bijekce je jak surjektivní, tak injektivní.