Zobrazení na

Formálně:

f : A → B {\displaystyle f:A\pravá šipka B} je surjektivní funkce, jestliže ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {\displaystyle \pro všechna b\v B\,\,\existuje a\v A} taková, že f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. }

Prvek b {\displaystyle b} se nazývá obraz prvku a {\displaystyle a} .

• Formální definice znamená: Každý prvek spoluoblasti B je obrazem alespoň jednoho prvku v oblasti A.

Prvek a {\displaystyle a} se nazývá předobraz prvku b {\displaystyle b} .

• Formální definice znamená: Každý prvek kódového oboru B má alespoň jeden předobraz v oboru A.

Předobraz nemusí být jedinečný. Na horním obrázku jsou {X} i {Y} předobrazy prvku {1}. Důležité je pouze to, aby existoval alespoň jeden předobraz. (Viz také: Injektivní funkce, Bijektivní funkce)

Elementární funkce

Nechť f(x):ℝ→ℝ je funkce y=f(x) reálné hodnoty argumentu x. (To znamená, že vstup i výstup jsou čísla.)

• Grafický význam: Funkce f je surjekce, jestliže každá vodorovná přímka protíná graf funkce f alespoň v jednom bodě.
• Analytický význam: Pro každé reálné číslo y_o můžeme najít alespoň jedno reálné číslo x _otakové, že y=f_o(x_o).

Příklad: Příklad: Lineární funkce šikmé přímky je na. To znamená, že y=ax+b, kde a≠0 je surjekce. (Je to také injekce, a tedy bijekce.)

Důkaz: Protože a≠0, dostaneme x= (y-b_o)/_a._o To znamená, že x=_o(y-b_o)/_a je předobrazem y_o. To dokazuje, že funkce y=ax+b, kde a≠0 je surjekce. (Protože existuje přesně jeden předobraz, je tato funkce také injekcí.)

Praktický příklad: y= -2x+4. Jaký je předobraz y=2? Řešení: Zde a= -2, tj. a≠0 a otázka zní: Pro jaké x je y=2? Do funkce dosadíme y=2. Dostaneme x=1, tj. y(1)=2. Odpověď tedy zní: x=1 je předobrazem y=2.

Příklad: kubický polynom (třetího stupně) f(x)=x-3x³ je surjekce.

Diskuse: Kubická rovnice x-3x-y=0³_o má reálné koeficienty (a=1₃, a=0₂, a=-3₁, a=-y_0o). Každá taková kubická rovnice má alespoň jeden reálný kořen. Protože obor polynomu je ℝ, znamená to, že v oboru je alespoň jeden předobraz x_o. To znamená, že (x₀)³-3x-y=0_0o. Funkce je tedy surjekcí. (Tato funkce však není injekcí. Například funkce y=2_o má dva předobrazy: x=-1 a x=2. Ve skutečnosti má každé y, -2≤y≤2 alespoň 2 předobrazy.)

Příklad: Kvadratická funkce f(x) = x² není surjekcí. Neexistuje žádné x takové, aby x ²= -1. Rozsah x² je [0,+∞) , tj. množina nezáporných čísel. (Tato funkce také není injekcí.)

Poznámka: Z nesurjektivní funkce lze udělat surjekci omezením jejího oboru na prvky jejího rozsahu. Například nová funkce f_N(x):ℝ → [0,+∞), kde f_N(x) = x², je surjektivní funkce. (To není totéž jako restrikce funkce, která omezuje obor!)

Příklad: Exponenciální funkce f(x) = 10^x není surjekce. Rozsah je 10^x(0,+∞), tj. množina kladných čísel. (Tato funkce je injekcí.)

Další příklady s reálnými funkcemi

Příklad: Logaritmická funkce základu 10 f(x):(0,+∞)→ℝ definovaná vztahem f(x)=log(x) nebo y=log₁₀(x) je surjekce (a injekce). (Jedná se o inverzní funkci 10^x.)

• Projekce kartézského součinu A × B na jeden z jeho činitelů je surjekce.

Příklad: Funkce f((x,y)):ℝ²→ℝ definovaná vztahem z=y je surjekce. Jejím grafem je rovina v trojrozměrném prostoru. Předobrazem z_o je přímka y=z_o v rovině xy. 0

• Ve 3D hrách se trojrozměrný prostor promítá na dvourozměrnou obrazovku pomocí surjekce.

• Funkce (matematika)
• Injekční funkce
• Bijektivní funkce