Prosté zobrazení

Autor: Leandro Alegsa Datum vytvoření: 20. dubna 2022

Injektivní funkce je v matematice funkce f : A → B s následující vlastností. Pro každý prvek b v oboru B existuje maximálně jeden prvek a v oboru A takový, že f(a)=b.

Termín injekce a související termíny surjekce a bijekce zavedl Mikuláš Bourbaki. Ve 30. letech 20. století vydal spolu se skupinou dalších matematiků řadu knih o moderní pokročilé matematice.

Injektivní funkce se často nazývá funkce 1-1. Nicméně korespondence 1-1 je bijektivní funkce (jak injektivní, tak surjektivní). To je matoucí, proto buďte opatrní.

Základní vlastnosti

Formálně:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} $f:A\rightarrow B$ je injektivní funkce, jestliže ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\v A,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\pravá šipka \,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})} $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\Rightarrow \,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})$ nebo ekvivalentně

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} $f:A\rightarrow B$ je injektivní funkce, jestliže ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {\displaystyle \pro všechny a_{1},\,a_{2},\v A,\,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\pravá šipka \,\,a_{1}=a_{2}} $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\Rightarrow \,\,a_{1}=a_{2}$

Prvek a {\displaystyle a} se nazývá předobraz prvku b {\displaystyle b} $b$ , jestliže f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b} $f(a)=b$ . Injekce mají jeden nebo žádný předobraz pro každý prvek b v B.

Kardinalita

Kardinalita je počet prvků v množině. Kardinalita množiny A={X,Y,Z,W} je 4. Píšeme #A=4.

Pokud je kardinalita kodomény menší než kardinalita domény, funkce nemůže být injekcí. (Například neexistuje způsob, jak namapovat 6 prvků na 5 prvků bez duplicity.)

Příklady

Elementární funkce

Nechť f(x):ℝ→ℝ je funkce y=f(x) reálné hodnoty argumentu x. (To znamená, že vstup i výstup jsou reálná čísla.)

Grafický význam: Funkce f je injekce, jestliže každá vodorovná přímka protíná graf funkce f nejvýše v jednom bodě.
Algebraický význam: Funkce f je injekce, jestliže f(x_o )=f(x₁ ) znamená x_o =x₁ .

Příklad: Příklad: Lineární funkce šikmé přímky je 1-1. To znamená, že y=ax+b, kde a≠0 je injekce. (Je to také surjekce, a tedy bijekce.)

Důkaz: Nechť x_o a x₁ jsou reálná čísla. Předpokládejme, že přímka mapuje tyto dvě hodnoty x na stejnou hodnotu y. To znamená, že a-x_o +b=a-x₁ +b. Od obou stran odečtěte b. Dostaneme a-x_o =a-x₁ . Nyní obě strany vydělte číslem a (nezapomeňte a≠0). Dostaneme x_o =x₁ . Tak jsme dokázali formální definici a funkci y=ax+b, kde a≠0 je injekce.

Příklad: f(x)=x³ je injekce. Avšak polynom třetího stupně: f(x)=x³ -3x není injekcí.

Diskuse 1: Jakákoli vodorovná přímka protíná graf rovnice

f(x)=x³ přesně jednou. (Je to také surjekce.)

Diskuse 2. Jakákoli vodorovná přímka mezi y=-2 a y=2 protíná graf ve třech bodech, takže tato funkce není injekcí. (Je to však surjekce.)

Příklad: Kvadratická funkce f(x) = x² není injekcí.

Diskuse: Jakákoli vodorovná přímka y=c, kde c>0, protíná graf ve dvou bodech. Tato funkce tedy není injekcí. (Také to není surjekce.)

Poznámka: Z neinjektivní funkce lze udělat funkci injektivní tak, že se odstraní část oboru. Tomu říkáme omezení domény. Omezte například obor funkce f(x)=x² na nezáporná čísla (kladná čísla a nulu). Definujte

f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} } $f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R}$ kde f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}} $f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}$

Tato funkce je nyní injekcí. (Viz také omezení funkce.)

Příklad: Exponenciální funkce f(x) = 10^x je injekce. (Není to však surjekce.)

Diskuse: Jakákoli vodorovná přímka protíná graf nejvýše v jednom bodě. Vodorovné přímky y=c, kde c>0, jej protínají právě v jednom bodě. Vodorovné přímky y=c, kde c≤0, neprotínají graf v žádném bodě.

Poznámka: Skutečnost, že exponenciální funkce je injektivní, lze využít při výpočtech.

a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {\displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Pravá šipka \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0} $a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Rightarrow \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0$

Příklad: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\pravá šipka \,\,2=x-3\,\,\pravá šipka \,\,x=5} $100=10^{x-3}\,\,\Rightarrow \,\,2=x-3\,\,\Rightarrow \,\,x=5$

Vstřikování: žádná vodorovná čára neprotíná více než jeden bod grafu

Injekce. f(x):ℝ→ℝ (a surjekce)

Není injekce. f(x):ℝ→ℝ (je surjekce)

Není injekce. f(x):ℝ→ℝ (není surjekce)

Injekce. f(x):ℝ→ℝ (ne surjekce)

Injekce. f(x):(0,+∞)→ℝ (a surjekce)

Další příklady

Příklad: Logaritmická funkce základu 10 f(x):(0,+∞)→ℝ definovaná vztahem f(x)=log(x) nebo y=log₁₀ (x) je injekce (a surjekce). (Jedná se o inverzní funkci 10^x .)

Příklad: Funkce f:ℕ→ℕ, která mapuje každé přirozené číslo n na 2n, je injekce. Každé sudé číslo má přesně jeden předobraz. Každé liché číslo nemá žádný předobraz.

Související stránky

Otázky a odpovědi

Otázka: Co je v matematice injekční funkce?

Odpověď: Injektivní funkce je funkce f: A → B s vlastností, že různé prvky v oboru se mapují na různé prvky v souoboru.

Otázka: Jaký je vztah mezi prvky v doméně a kódové doméně injektivní funkce?

Odpověď: Pro každý prvek b v oboru B existuje v oboru A nejvýše jeden prvek a takový, že f(a)=b.

Otázka: Kdo zavedl pojmy injekce, surjekce a bijekce?

Odpověď: Mikuláš Bourbaki a skupina dalších matematiků zavedli termíny injekce, surjekce a bijekce.

Otázka: Co znamená injekční funkce?

Odpověď: Injektivní funkce znamená, že každý prvek v oboru A se zobrazuje na jedinečný prvek v souřadném oboru B.

Otázka: Jak se injekční funkce liší od korespondence 1-1?

Odpověď: Injektivní funkce se často nazývá funkce 1-1 (one-to-one), ale odlišuje se od korespondence 1-1, což je bijektivní funkce (jak injektivní, tak surjektivní).

Otázka: Jaká je vlastnost injektivní funkce?

Odpověď: Injektivní funkce má tu vlastnost, že různé prvky v oboru se zobrazují na různé prvky v souřadném oboru.

Otázka: Jaký význam mají injektivní funkce v matematice?

Odpověď: Injektivní funkce hrají důležitou roli v mnoha matematických oborech, včetně topologie, analýzy a algebry, díky své vlastnosti, že odlišné prvky v doméně se mapují na odlišné prvky v kódové doméně.