Prosté zobrazení

Základní vlastnosti

Formálně:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} je injektivní funkce, jestliže ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\v A,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\pravá šipka \,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})} nebo ekvivalentně

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} je injektivní funkce, jestliže ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {\displaystyle \pro všechny a_{1},\,a_{2},\v A,\,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\pravá šipka \,\,a_{1}=a_{2}}

Prvek a {\displaystyle a} se nazývá předobraz prvku b {\displaystyle b} , jestliže f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b} . Injekce mají jeden nebo žádný předobraz pro každý prvek b v B.

Kardinalita

Kardinalita je počet prvků v množině. Kardinalita množiny A={X,Y,Z,W} je 4. Píšeme #A=4.

• Pokud je kardinalita kodomény menší než kardinalita domény, funkce nemůže být injekcí. (Například neexistuje způsob, jak namapovat 6 prvků na 5 prvků bez duplicity.)

Příklady

Elementární funkce

Nechť f(x):ℝ→ℝ je funkce y=f(x) reálné hodnoty argumentu x. (To znamená, že vstup i výstup jsou reálná čísla.)

• Grafický význam: Funkce f je injekce, jestliže každá vodorovná přímka protíná graf funkce f nejvýše v jednom bodě.
• Algebraický význam: Funkce f je injekce, jestliže f(x_o )=f(x₁ ) znamená x_o =x₁ .

Příklad: Příklad: Lineární funkce šikmé přímky je 1-1. To znamená, že y=ax+b, kde a≠0 je injekce. (Je to také surjekce, a tedy bijekce.)

Důkaz: Nechť x_o a x₁ jsou reálná čísla. Předpokládejme, že přímka mapuje tyto dvě hodnoty x na stejnou hodnotu y. To znamená, že a-x_o +b=a-x₁ +b. Od obou stran odečtěte b. Dostaneme a-x_o =a-x₁ . Nyní obě strany vydělte číslem a (nezapomeňte a≠0). Dostaneme x_o =x₁ . Tak jsme dokázali formální definici a funkci y=ax+b, kde a≠0 je injekce.

Příklad: f(x)=x³ je injekce. Avšak polynom třetího stupně: f(x)=x³ -3x není injekcí.

Diskuse 1: Jakákoli vodorovná přímka protíná graf rovnice

f(x)=x³ přesně jednou. (Je to také surjekce.)

Diskuse 2. Jakákoli vodorovná přímka mezi y=-2 a y=2 protíná graf ve třech bodech, takže tato funkce není injekcí. (Je to však surjekce.)

Příklad: Kvadratická funkce f(x) = x² není injekcí.

Diskuse: Jakákoli vodorovná přímka y=c, kde c>0, protíná graf ve dvou bodech. Tato funkce tedy není injekcí. (Také to není surjekce.)

Poznámka: Z neinjektivní funkce lze udělat funkci injektivní tak, že se odstraní část oboru. Tomu říkáme omezení domény. Omezte například obor funkce f(x)=x² na nezáporná čísla (kladná čísla a nulu). Definujte

f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} } kde f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}}

Tato funkce je nyní injekcí. (Viz také omezení funkce.)

Příklad: Exponenciální funkce f(x) = 10^x je injekce. (Není to však surjekce.)

Diskuse: Jakákoli vodorovná přímka protíná graf nejvýše v jednom bodě. Vodorovné přímky y=c, kde c>0, jej protínají právě v jednom bodě. Vodorovné přímky y=c, kde c≤0, neprotínají graf v žádném bodě.

Poznámka: Skutečnost, že exponenciální funkce je injektivní, lze využít při výpočtech.

a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {\displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Pravá šipka \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0}

Příklad: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\pravá šipka \,\,2=x-3\,\,\pravá šipka \,\,x=5}  

Další příklady

Příklad: Logaritmická funkce základu 10 f(x):(0,+∞)→ℝ definovaná vztahem f(x)=log(x) nebo y=log₁₀ (x) je injekce (a surjekce). (Jedná se o inverzní funkci 10^x .)

Příklad: Funkce f:ℕ→ℕ, která mapuje každé přirozené číslo n na 2n, je injekce. Každé sudé číslo má přesně jeden předobraz. Každé liché číslo nemá žádný předobraz.

Související stránky

• Funkce (matematika)
• Surjektivní funkce
• Bijektivní funkce