Bijekce

Základní vlastnosti

Formálně:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} je bijektivní funkce, jestliže ∀ b ∈ B {\displaystyle \forall b\in B} existuje jedinečné a ∈ A {\displaystyle a\in A} takové, že f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. }

Prvek b {\displaystyle b} se nazývá obraz prvku a {\displaystyle a} .

• Formální definice znamená: Každý prvek spoluoblasti B je obrazem přesně jednoho prvku v oblasti A.

Prvek a {\displaystyle a} se nazývá předobraz prvku b {\displaystyle b} .

• Formální definice znamená: Každý prvek kódového oboru B má přesně jeden předobraz v oboru A.

Poznámka: Surjection znamená minimálně jeden předobraz. Injekce znamená maximálně jeden předobraz. Bijekce tedy znamená přesně jeden předobraz.

Kardinalita

Kardinalita je počet prvků v množině. Kardinalita množiny A={X,Y,Z,W} je 4. Píšeme #A=4.

• Definice: Dvě množiny A a B mají stejnou kardinalitu, pokud mezi nimi existuje bijekce. Takže #A=#B znamená, že existuje bijekce z A do B.

Bijekce a inverzní funkce

• Bijekce jsou invertovatelné obrácením šipek. Nová funkce se nazývá inverzní funkce.

Formálně: Nechť f : A → B je bijekce. Inverzní funkce g : B → A je definována vztahem jestliže f(a)=b, pak g(b)=a. (Viz také Inverzní funkce.)

• Inverzní funkce inverzní funkce je původní funkce.
• Funkce má inverzní funkci tehdy a jen tehdy, když je bijekcí.

Poznámka: Zápis inverzní funkce f je matoucí. Konkrétně,

  f - 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} označuje inverzní funkci funkce f, ale x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} označuje reciprokou hodnotu čísla x.

Příklady

Elementární funkce

Nechť f(x):ℝ→ℝ je funkce y=f(x) reálné hodnoty argumentu x. (To znamená, že vstup i výstup jsou čísla.)

• Grafický význam: Funkce f je bijekce, jestliže každá vodorovná přímka protíná graf funkce f přesně v jednom bodě.
• Algebraický význam: Funkce f je bijekce, jestliže pro každé reálné číslo y_o můžeme najít alespoň jedno reálné číslo x_o takové, že y_o =f(x_o ) a jestliže f(x_o )=f(x₁ ) znamená x_o =x₁ .

Příklad: Lineární funkce šikmé přímky je bijekce. To znamená, že y=ax+b, kde a≠0 je bijekce.

Diskuse: Každá vodorovná přímka protíná šikmou přímku přesně v jednom bodě (důkaz viz surjekce a injekce). Obrázek 1.

Příklad: Funkce polynomu třetího stupně: f(x)=x³ je bijekce. Obrázek 2 a obrázek 5 tenká žlutá křivka. Její inverzí je funkce krychlových kořenů f(x)= ∛x a je to také bijekce f(x):ℝ→ℝ. Obrázek 5: tlustá zelená křivka.

Příklad: Kvadratická funkce f(x) = x² není bijekce (z ℝ→ℝ). Obrázek 3. Není to surjekce. Není to injekce. Můžeme však omezit její obor i kodomén na množinu nezáporných čísel (0,+∞) a získat (inverzní) bijekci (viz příklady níže).

• doména
• funkční stroj
• codomain

Příklad: Předpokládejme, že náš stroj funkcí je f(x)=x².

• Tento stroj a doména=ℝ a kodoména=ℝ není surjekce ani injekce. Nicméně,
• a doména=[0,+∞) a doména=[0,+∞) je jak surjekce, tak injekce, a tedy bijekce.

Bijekce a jejich inverze

Nechť f(x):A→B, kde A a B jsou podmnožiny ℝ.

• Předpokládejme, že f není bijekce. Pro každé x, kde existuje derivace f a není nulová, existuje okolí x, kde můžeme omezit obor a spoluobor f na bisekci.
• Grafy inverzních funkcí jsou symetrické vzhledem k přímce y=x. (Viz také Inverzní funkce.)

Příklad: Kvadratická funkce definovaná na omezeném oboru a kodoménu [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} definováno f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}}

je bijekce. Obrázek 6: tenká žlutá křivka.

Příklad: Funkce odmocniny definovaná na omezeném oboru a kodoménu [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} definováno f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}.

je bijekce definovaná jako inverzní funkce kvadratické funkce: x² . Obrázek 6: tlustá zelená křivka.

f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )} definováno f ( x ) = a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,\,a>1}

je bijekce. Obrázek 4: tenká žlutá křivka (a=10).

Příklad: Logaritmická funkce báze a je definována na omezeném oboru (0,+∞) a kódovém oboru ℝ.

f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,\mathbf {R} } definováno f ( x ) = log a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,,\,\,a>1}

je bijekce definovaná jako inverzní funkce exponenciální funkce: a^x . Obrázek 4: tlustá zelená křivka (a=10).

Související stránky

• Funkce (matematika)
• Surjektivní funkce
• Injekční funkce
• Inverzní funkce