Rovnoběžnostěn — definice, vlastnosti a příklady

Kteroukoli ze tří dvojic rovnoběžných ploch lze považovat za podstavu hranolu. Rovnoběžník má tři sady čtyř rovnoběžných hran; hrany v každé sadě jsou stejně dlouhé.

Rovnoběžníky jsou výsledkem lineárních transformací krychle (pro nedegenerované případy: bijektivní lineární transformace).

Protože každá stěna má bodovou symetrii, je rovnoběžník zonoedr. Také celý rovnoběžník má bodovou symetrii _{Ci (}viz také triklinický). Každá stěna je při pohledu zvenčí zrcadlovým obrazem protější stěny. Stěny jsou obecně chirální, ale rovnoběžnostěn není.

Teselace vyplňující prostor je možná s kongruentními kopiemi libovolného rovnoběžníku.

Objem rovnoběžníku je součinem plochy jeho podstavy A a výšky h. Podstavou je kterákoli ze šesti stěn rovnoběžníku. Výška je kolmá vzdálenost mezi podstavou a protější stěnou.

Alternativní metoda definuje vektory a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) a c = (c1, c2, c3), které představují tři hrany, které se setkávají v jednom vrcholu. Objem rovnoběžníku se pak rovná absolutní hodnotě skalárního trojnásobku a - (b × c):

V = | a ⋅ ( b × c ) | = | b ⋅ ( c × a ) | = | c ⋅ ( a × b ) | {\displaystyle V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|}

To je pravda, protože pokud zvolíme b a c jako hrany podstavy, plocha podstavy je podle definice křížového součinu (viz geometrický význam křížového součinu),

A = | b | | c | sin θ = | b × c | , {\displaystyle A=\left|\mathbf {b} \pravá|\levá|\mathbf {c} \pravá|\sin \theta =\levá|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \vpravo|,}

kde θ je úhel mezi b a c a výška je

h = | a | cos α , {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha ,}

kde α je vnitřní úhel mezi a a h.

Z obrázku lze odvodit, že velikost α je omezena na 0° ≤ α < 90°. Naopak vektor b × c může tvořit s a vnitřní úhel β větší než 90° (0° ≤ β ≤ 180°). Protože b × c je rovnoběžný s h, hodnota β je buď β = α, nebo β = 180° - α. Takže

cos α = ± cos β = | cos β | , {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\left|\cos \beta \right|,}

a

h = | a | | cos β | . {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\left|\cos \beta \right|. }

Došli jsme k závěru, že

V = A h = | a | | b × c | | cos β | , {\displaystyle V=Ah=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \krát \mathbf {c} \pravý|\levý|\cos \beta \pravý|,}

což je podle definice skalárního (nebo bodového) součinu ekvivalentní absolutní hodnotě a - (b × c), Q.E.D.

Tento výraz je také ekvivalentní absolutní hodnotě determinantu trojrozměrné matice sestrojené z řádků (nebo sloupců) a, b a c:

V = | det [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. }

Ta se zjistí pomocí Cramerova pravidla na třech redukovaných dvourozměrných maticích zjištěných z originálu.

Jsou-li a, b a c délky hran rovnoběžnostěnu a α, β a γ vnitřní úhly mezi hranami, je objem následující

V = a b c 1 + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos 2 ( α ) - cos 2 ( β ) - cos 2 ( γ ) . {\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alfa )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alfa )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\,}}. }

Odpovídající tetraedr

Objem libovolného čtyřstěnu, který sdílí tři sbíhavé hrany rovnoběžníku, má objem rovný jedné šestině objemu tohoto rovnoběžníku (viz důkaz).

Pro rovnoběžníky s rovinou symetrie existují dva případy:

• má čtyři obdélníkové plochy
• má dvě kosočtvercové stěny, zatímco z ostatních stěn jsou dvě sousední stejné a další dvě také (tyto dvě dvojice jsou navzájem zrcadlovým obrazem).

Viz také monoklinický.

Pravoúhlý krychle, nazývaný také pravoúhlý rovnoběžník nebo někdy prostě krychle, je rovnoběžník, jehož všechny stěny jsou pravoúhlé; krychle je krychle se čtvercovými stěnami.

Kosočtverec je rovnoběžník se všemi kosočtvercovými stěnami; trojboký lichoběžník je kosočtverec se shodnými kosočtvercovými stěnami.

Dokonalý rovnoběžník je rovnoběžník s celočíselnými hranami, čelními úhlopříčkami a prostorovými úhlopříčkami. V roce 2009 bylo prokázáno, že existují desítky dokonalých rovnoběžníků, čímž byla zodpovězena otevřená otázka Richarda Guye. Jeden z příkladů má hrany 271, 106 a 103, vedlejší lícové úhlopříčky 101, 266 a 255, hlavní lícové úhlopříčky 183, 312 a 323 a prostorové úhlopříčky 374, 300, 278 a 272.

Jsou známy některé dokonalé rovnoběžníky se dvěma pravoúhlými stěnami. Není však známo, zda existují takové, které mají všechny stěny pravoúhlé; takový případ by se nazýval dokonalý krychle.

Coxeter nazval zobecnění rovnoběžníku ve vyšších dimenzích rovnoběžník.

Konkrétně v n-rozměrném prostoru se nazývá n-rozměrný paralelotop nebo jednoduše n-paralelotop. Rovnoběžník je tedy 2-paralelotop a rovnoběžník je 3-paralelotop.

Obecněji řečeno, paralelotop neboli voronoiův paralelotop má rovnoběžné a shodné protilehlé hrany. Takže 2-paralelotop je rovnoběžník, který může zahrnovat i některé šestiúhelníky, a 3-paralelotop je rovnoběžník, který zahrnuje 5 typů mnohostěnů.

Úhlopříčky n-úhelníku se protínají v jednom bodě a jsou tímto bodem protnuty. Inverze v tomto bodě ponechává n-paralelotop beze změny. Viz také pevné body izometrických grup v euklidovském prostoru.

Hrany vyzařující z jednoho vrcholu k-paralelotopy tvoří k-rámec ( v 1 , ... , v n ) {\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})} vektorového prostoru a paralelotopa může být obnovena z těchto vektorů, a to lineárními kombinacemi vektorů s váhami mezi 0 a 1.

Objem n-paralelotopy vložené do R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}, kde m ≥ n {\displaystyle m\geq n}, lze vypočítat pomocí Gramova determinantu. Alternativně je objem normou vnějšího součinu vektorů:

V = ‖ v 1 ∧ ⋯ ∧ v n ‖ . {\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|. }

Pokud je m = n, je to absolutní hodnota determinantu n vektorů.

Další vzorec pro výpočet objemu n-paralelotopu P v R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , jehož n + 1 vrcholů jsou V 0 , V 1 , ... , V n {\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}}. , je

V o l ( P ) = | d e t ( [ V 0 1 ] T , [ V 1 1 ] T , ... , [ V n 1 ] T ) | , {\displaystyle {\rm {Vol}}(P)=|{\rm {det}}\ ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}},[V_{1}\ 1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}\ 1]^{\rm {T}})|,}

kde [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} je řádkový vektor vytvořený spojením V i {\displaystyle V_{i}} a 1. Determinant se skutečně nezmění, pokud se [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} odečte od [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]}. (i > 0) a umístění [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} na poslední pozici změní pouze jeho znaménko.

Podobně objem libovolného n-úhelníku, který sdílí n sbíhajících se hran rovnoběžníku, má objem rovný jedné 1/n! objemu tohoto rovnoběžníku.

Toto slovo se objevuje jako parallelipipedon v překladu Euklidových Elementů sira Henryho Billingsleyho z roku 1570. Pierre Hérigone ve svém vydání Cursus mathematicus z roku 1644 použil pravopis parallelepipedum. Oxfordský slovník angličtiny uvádí, že dnešní parallelepiped se poprvé objevuje v díle Waltera Charletona Chorea gigantum (1663).

Charles Hutton's Dictionary (1795) uvádí parallelopiped a parallelopipedon, což ukazuje na vliv kombinační formy parallelo-, jako by druhý prvek byl pipedon, nikoli epipedon. Noah Webster (1806) uvádí pravopis parallelopiped. Ve vydání Oxford English Dictionary z roku 1989 jsou parallelopiped (a parallelipiped) výslovně označeny jako nesprávné tvary, ale ve vydání z roku 2004 jsou uvedeny bez komentáře a je uvedena pouze výslovnost s důrazem na páté slabice pi (/paɪ/).

Odklon od tradiční výslovnosti v sobě skrývá odlišné rozdělení, které naznačují řecké kořeny: epi- ("na") a pedon ("země") se spojují v epiped, plochou "rovinu". Stěny rovnoběžníku jsou tedy rovinné, přičemž protilehlé stěny jsou rovnoběžné.