Determinant

Existuje několik způsobů, jak pochopit, co determinant o matici vypovídá.

Geometrický výklad

Na matici n × n {\displaystyle n\times n} lze pohlížet jako na popis lineární mapy v n {\displaystyle n} dimenzích. V tomto případě determinant udává faktor, o který tato matice škáluje (zvětšuje nebo zmenšuje) oblast n {\displaystyle n}rozměrného prostoru.

Například matice 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} A {\displaystyle A} , chápaná jako lineární mapa, změní čtverec ve dvourozměrném prostoru na rovnoběžník. Plocha tohoto rovnoběžníku bude det ( A ) {\displaystyle \det(A)} krát větší než plocha čtverce.

Stejně tak matice 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} B {\displaystyle B} , chápaná jako lineární mapa, změní krychli v trojrozměrném prostoru na rovnoběžník. Objem tohoto rovnoběžníku bude det ( B ) {\displaystyle \det(B)} krát větší než objem krychle.

Determinant může být záporný. Lineární mapa může objem roztahovat a měnit jeho měřítko, ale může jej také odrážet přes osu. Kdykoli k tomu dojde, změní se znaménko determinantu z kladného na záporné nebo ze záporného na kladné. Záporný determinant znamená, že objem byl zrcadlen přes lichý počet os.

Výklad "soustavy rovnic"

Matici si můžete představit jako popis soustavy lineárních rovnic. Tato soustava má jedinečné netriviální řešení právě tehdy, když determinant není roven 0. (Netriviální znamená, že řešení nejsou jen samé nuly.)

Pokud je determinant nulový, pak buď neexistuje jedinečné netriviální řešení, nebo jich je nekonečně mnoho.

Matice má inverzní matici právě tehdy, když její determinant není roven 0. Z tohoto důvodu se matice s nenulovým determinantem nazývá inverzní. Je-li determinant roven 0, pak se matice nazývá neinvertibilní nebo singulární.

Z geometrického hlediska si můžete singulární matici představit jako "zploštění" rovnoběžníku na rovnoběžník nebo rovnoběžníku na přímku. Pak je objem nebo plocha rovna 0 a neexistuje žádná lineární mapa, která by vrátila starý tvar.

Determinant lze vypočítat několika způsoby.

Vzorce pro malé matice

• Pro matice 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} a 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} si můžete zapamatovat vzorce:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc. }

• Pro matice 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} platí vzorec:

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}}

K zapamatování tohoto vzorce můžete použít Sarrovo pravidlo (viz obrázek).

Rozšíření kofaktorů

U větších matic je výpočet determinantu obtížnější. Jedním ze způsobů je tzv. kofaktorová expanze.

Řekněme, že máme n × n {\displaystyle n\times n} matici A {\displaystyle A} . Nejprve si vybereme libovolný řádek nebo sloupec matice. Pro každé číslo a i j {\displaystyle a_{ij}} v tomto řádku nebo sloupci vypočítáme něco, co se nazývá jeho kofaktor C i j {\displaystyle C_{ij}}. . Pak det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}}. .

Pro výpočet takového kofaktoru C i j {\displaystyle C_{ij}} vymažeme řádek i {\displaystyle i} a sloupec j {\displaystyle j} z matice A {\displaystyle A} . Tím získáme menší ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\krát (n-1)} matici. Nazýváme ji M {\displaystyle M} . Kofaktor C i j {\displaystyle C_{ij}} se pak rovná ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} .

Zde je příklad kofaktorového rozkladu levého sloupce matice 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3}:

det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = − 11. {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\3&4\konec{matice}}pravá)+\levá({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{matice}3&2\\3&4\konec{matice}}pravá)+\levá({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{matici}3&2\\1&1\konec{bmatrix}}}vpravo)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\&=-11.\end{aligned}}

Jak vidíte zde, můžeme si ušetřit práci tím, že vybereme řádek nebo sloupec, který obsahuje mnoho nul. Pokud je a i j {\displaystyle a_{ij}} rovno 0, nemusíme počítat C i j {\displaystyle C_{ij}}. .

• Svazek