Magnituda: definice a význam v matematice, astronomii a seismologii

Magnituda: přehled významů v matematice, astronomii a seismologii — co měří, jak se určuje a proč je klíčová pro vědu i praxi.

Magnituda může znamenat:

• Magnituda (matematika), míra velikosti matematického objektu.

V astronomii:

• Magnituda (astronomie)
• Velikost zatmění

V seismologii:

• Jedna ze dvou měr síly zemětřesení:
• Richterova stupnice
• Stupnice velikosti momentu

Ostatní:

Matematika: co znamená magnituda

V matematice je magnituda obecný pojem pro „velikost“ nebo „délku“ objektu. Záleží na konkrétním typu objektu a na zvolené míře. Mezi nejčastější příklady patří:

• Absolutní hodnota reálného čísla: |x| je vzdálenost čísla x od nuly na číselné ose.
• Modul komplexního čísla z = x + iy: |z| = sqrt(x² + y²), což je vzdálenost od počátku v komplexní rovině.
• Norma vektorů: pro vektor v = (v1, v2, …, vn) je nejběžnější Eukleidovská norma ||v||2 = sqrt(v1² + v2² + … + vn²). Existují i jiné normy (1‑norma, ∞‑norm apod.), které dávají různé „magnitudy“ téže množiny souřadnic.
• Řád velikosti (order of magnitude) — přibližné porovnání podle mocnin deseti, používané pro odhad, zda je něco řádově větší nebo menší.

Volba konkrétní definice magnitudy závisí na účelu: při práci s vektory se používají normy, při porovnávání čísel jejich absolutní hodnoty a při odhadech řády velikosti.

Astronomie: jas a stupnice magnitud

V astronomii znamená magnituda míru jasnosti objektu na obloze. Rozlišujeme hlavně:

• Zdánlivá magnituda (m) — jak jasný je objekt ze Země. Čím nižší číslo, tím jasnější objekt; objekty mohou mít i záporné hodnoty (Slunce ≈ −26,7, úplněk ≈ −12,7, Sirius ≈ −1,46).
• Absolutní magnituda (M) — jak jasný by objekt byl ve standardní vzdálenosti 10 parseků; slouží k porovnání skutečné svítivosti hvězd nezávisle na vzdálenosti.
• Bolometrická, vizuální a jiné pásmové magnitude — měření jasu v různých částech spektra (celková energie vs. pouze viditelná složka apod.).

Magnitudová stupnice je logaritmická podle Pogsonova zákona: rozdíl dvou magnitud je úměrný logaritmu poměru jejich svítivostí:
m1 − m2 = −2,5 · log10(F1 / F2). To znamená, že pokles o 1 magnitudu odpovídá přibližně 2,512× větší svítivosti a rozdíl 5 magnitud odpovídá přesně 100× rozdílu v intenzitě světla.

Dále se v astronomii používají speciální pojmy jako „mezní magnituda“ (nejmenší jas, který je pozorovatelný dalekohledem/okem) nebo magnituda udávající velikost zatmění (pokles jasnosti při průchodu planet nebo při zatmění dvojhvězdy).

Seismologie: magnituda zemětřesení

V seismologii magnituda kvantifikuje velikost uvolněné energie při zemětřesení. Je to jedno z hlavních čísel popisujících událost; druhým je intenzita (např. Mercalliho stupnice), která popisuje účinky na povrchu a může se lišit v různých místech.

• Richterova stupnice (ML) — historicky první stupnice založená na logaritmu amplitudy seismických vln; dobře funguje pro menší až střední zemětřesení blízko epicentra, ale u velmi silných událostí „saturuje“ (nedokáže přesně vyčíslit energii velkých otřesů).
• Stupnice velikosti momentu (moment magnitude, Mw) — standard pro velká zemětřesení. Je založená na seismickém momentu M0, což je fyzikální veličina úměrná uvolněné síle krát posunu. Přibližný vztah je lineární v logaritmu: Mw je úměrná (2/3)·log10(M0) (přesné konstanty závisí na jednotkách). Tato stupnice lépe odráží skutečnou uvolněnou energii i u nejsilnějších zemětřesení.

Obecně platí, že magnitude jsou logaritmické: zvýšení magnitudy o 1 znamená přibližně 10× větší amplitudu seismické vlny a zhruba 31,6× větší uvolněnou energii. To vysvětluje, proč rozdíl několika desetin magnitude může znamenat významně odlišné škody.

Příklady: velmi silné zemětřesení mají Mw kolem 8–9 (např. zemětřesení v Tóhoku 2011 ~ Mw 9,0); Richterova škála se pro takové hodnoty běžně nepoužívá.

Rozdíl mezi magnitudou a intenzitou

Je důležité nerozlišovat magnitudu a intenzitu:

• Magnituda měří velikost zdroje (energie uvolněná v hypocentru), je jediná hodnota pro celé zemětřesení.
• Intenzita (např. Mercalli) popisuje účinky v konkrétním místě — škody, vnímání otřesů — a liší se podle vzdálenosti, geologie a konstrukce budov.

Ostatní použití a souhrn

Slovo „magnituda“ se používá v různých oborech vždy ve smyslu „velikost, rozsah nebo síla“ určitého jevu. Vždy je důležité rozlišit, jaká konkrétní definice se používá (matematická norma, astronomická jasnost, seismologická energie apod.), protože různé definice mají odlišné jednotky, škály a interpretační důsledky.

Pro podrobnější informace o jednotlivých významech viz příslušné heslo:

• Magnituda (matematika
• Magnituda (astronomie)
• Stupnice velikosti momentu
• zemětřesení

Hledání podle dopisu