Hilbertův prostor: definice, vlastnosti, příklady a použití

Hilbertův prostor: přehled definice, vlastností, příkladů a praktického použití v kvantové mechanice, Fourierově analýze a PDE — srozumitelně pro studenty i vědce.

Hilbertův prostor je matematický pojem, který představuje zobecnění euklidovského prostoru do libovolného (včetně nekonečného) počtu rozměrů. Zatímco euklidovský prostor popisuje geometrii ve dvou nebo třech rozměrech, Hilbertův prostor rozšiřuje stejné pojmy délky, úhlu a ortogonality i na prostory s větším nebo nekonečným počtem rozměrů; je pojmenován po Davidu Hilbertovi. Takové zobecnění umožňuje používat geometrickou intuici (např. projekce, ortogonální rozklady) v oblastech matematické analýzy a aplikacích.

Vektorová algebra a kalkul (analýza) poskytují základní nástroje, které se v euklidovské rovině a prostoru uplatňují i v Hilbertových prostorech. V Hilbertových prostorech lze tyto metody použít s libovolným konečným i nekonečným počtem rozměrů. Formálně je Hilbertův prostor vektorový prostor nad reálnými nebo komplexními čísly vybavený vnitřním součinem umožňujícím měření délek a úhlů; z tohoto vnitřního součinu plyne norma a metrika. Navíc musí být tento prostor úplný, což znamená, že každý Cauchyovský posloupnost v něm konverguje k limitě, která je v prostoru obsažena — to zajišťuje, že fungují techniky reálné a komplexní analýzy (existuje dostatečný počet limit). Normu definovanou vnitřním součinem obvykle značíme ||x|| = sqrt(⟨x,x⟩).

Definice (stručně)

Hilbertův prostor je lineární prostor H nad polem reálných nebo komplexních čísel spolu s mapou (vnitřním součinem) ⟨·,·⟩: H×H → K, která splňuje pro všechna x,y,z∈H a λ∈K tyto vlastnosti:

• konjugovaná symetrie: ⟨x,y⟩ = overline{⟨y,x⟩},
• linearita v první (nebo druhé, podle konvence) složce: ⟨λx + y, z⟩ = λ⟨x,z⟩ + ⟨y,z⟩,
• pozitivní definitnost: ⟨x,x⟩ ≥ 0 a ⟨x,x⟩ = 0 právě když x = 0.

Z vnitřního součinu dostaneme normu ||x|| = sqrt(⟨x,x⟩) a metrickou strukturu. Hilbertův prostor je pak tento prostor s vnitřním součinem, který je úplný vzhledem k odpovídající metrice.

Základní vlastnosti a věty

• Ortogonality: Vektory x a y jsou ortogonální, pokud ⟨x,y⟩ = 0. Platí zobecněná Pythagorova věta.
• Ortogonální projekce: Každý uzavřený podprostor má pro každý vektor jedinečný nejbližší bod (projekci). To je základ projekční metody při řešení rovnic a minimalizačních úloh.
• Ortonormální báze a Parsevalův vztah: Ortonormální soustava, která je úplná, poskytuje rozklad každého vektoru jako (možná nekonečné) sumy koeficientů. Parsevalův identitu lze považovat za zobecnění Pythagorovy věty na nekonečné rozklady.
• Rieszovo zobrazení: V každém Hilbertově prostoru lze z každého lineárního kontinuitního funkcionálu získat právě jeden vektor tak, že funkcionál působí jako vnitřní součin s tímto vektorem (Rieszova reprezentace).
• Lineární operátory: Na Hilbertových prostorech se zkoumají zejména ohraničené (bounded) lineární operátory, jejich adjungované, self-adjoint, unitární a kompaktní operátory. Pro self-adjoint a unární operátory platí spektrální věta, která umožňuje jejich "diagonalizaci".
• Separabilita: Mnohé běžné Hilbertovy prostory (např. l² nebo L² na intervalu) jsou separabilní — mají spočetnou hustou množinu; to zjednodušuje konstrukci ortonormálních bází.

Příklady běžných Hilbertových prostorů

• Všechny konečněrozměrné euklidovské prostory (R^n, C^n) s obyčejným skalárním součinem — jsou triviálním příkladem Hilbertova prostoru.
• Prostor posloupností l²: soubor posloupností (x₁,x₂,...) s ∑ |x_n|² < ∞; vnitřní součin ⟨x,y⟩ = ∑ x_n overline{y_n}.
• Prostor čtvercově integrovatelných funkcí L²(a,b): funkce f s ∫_a^b |f(x)|² dx < ∞, vnitřní součin ⟨f,g⟩ = ∫ f overline{g}.
• Sobolevovy prostory: prostory zobecněných funkcí s derivacemi v L²; často jsou Hilbertovy (při vhodném výběru indexu).
• Hardyho prostory: prostory holomorfních funkcí s omezenou L²-normou na kružnici nebo poloplochách; jsou důležité v komplexní analýze a teorii signálů.
• Další příklady zahrnují prostory funkcí na množinách, které jsou vybaveny vhodným vnitřním součinem, a některé prostory generované ortonormálními funkcemi (např. Fourierovy nebo Hermitovy funkce).

Aplikace

• Kvantová mechanika: Stavová prostoru kvantového systému se modeluje jako Hilbertův prostor; vektory (a spíše jejich jedinečné paprsky) reprezentují stavy, pozorování odpovídají samoadjungovaným operátorům.
• Parciální diferenciální rovnice: Metody z Hilbertových prostorů (variace, Galerkinovy metody, Sobolevovy prostory) jsou základními nástroji při formulaci a řešení slabých forem PDE.
• Fourierova analýza a zpracování signálů: Fourierův transform je unitární operátor v L²; rozklady signálů do ortonormálních funkcí (např. sinusoid) využívají vlastností Hilbertových prostorů.
• Ergodická teorie a termodynamika: Hilbertovy prostory a spektrální vlastnosti operátorů hrají roli při studiu dlouhodobého chování dynamických systémů.
• Statistika a strojové učení: Metody jako PCA (hlavní komponenty) a Karhunen–Loèveův rozklad využívají ortogonálních rozkladů v Hilbertových prostorech; reprodukující kernelové Hilbertovy prostory (RKHS) jsou klíčové v teorii jader a kernelovém strojovém učení.
• Inženýrství: Analýza systémů, návrh filtrů, řízení a optimalizace často používají Hilbertovy prostorové techniky.

Historie a další poznámky

První koncepty a studie Hilbertových prostorů se objevily v prvním desetiletí 20. století v pracích Davida Hilberta, Erharda Schmidta a Frigyesa Riese. Termín "Hilbertův prostor" zavedl jako první John von Neumann. Vývoj této teorie byl motivovaný studiem integrálních rovnic, Fourierovy analýzy a funkcí na nekonečnědimenzionálních prostorech a později sehrál zásadní roli ve funkcionální analýze.

Hilbertovy prostory se často objevují v matematice, fyzice a technice, zejména jako nekonečněrozměrné prostory funkcí. Jsou užitečné při studiu parciálních diferenciálních rovnic, kvantové mechaniky, Fourierovy analýzy (včetně zpracovánísignálů a tepelné difuze). Dále se používají v ergodické teorii — základu termodynamiky. Všechny normální euklidovské prostory jsou příklady Hilbertových prostorů; dalšími konkrétními příklady jsou prostory čtvercově integrovatelných funkcí, prostory posloupností, Sobolevovy prostory tvořené zobecněnými funkcemi a Hardyho prostory holomorfních funkcí.

Otázky a odpovědi

Otázka: Co je to Hilbertův prostor?

Otázka: Kdo pojmenoval pojem Hilbertův prostor?

Otázka: Jaké jsou některé aplikace Hilbertových prostorů?

Otázka: Jsou všechny normální euklidovské prostory považovány také za Hilbertovy prostory?

Otázka: Jak Hilbertovy prostory ovlivnily funkční analýzu?

Otázka: Jaký typ matematiky je třeba znát při práci s Hilbertovým prostorem?

Hledání podle dopisu