Hilbertův prostor
Hilbertův prostor je matematický pojem, který zahrnuje mimorozměrné využití euklidovského prostoru, tj. prostoru s více než třemi rozměry. Hilbertův prostor využívá matematiku dvou a tří rozměrů, aby se pokusil popsat to, co se děje ve větších než třech rozměrech. Je pojmenován po Davidu Hilbertovi.
Vektorová algebra a kalkul jsou metody, které se obvykle používají ve dvourozměrné euklidovské rovině a trojrozměrném prostoru. V Hilbertových prostorech lze tyto metody použít s libovolným konečným nebo nekonečným počtem rozměrů. Hilbertův prostor je vektorový prostor, který má strukturu vnitřního součinu umožňujícího měření délky a úhlu. Hilbertovy prostory musí být také úplné, což znamená, že musí existovat dostatečný počet limit, aby mohl fungovat kalkul.
První Hilbertovy prostory studovali v prvním desetiletí 20. století David Hilbert, Erhard Schmidt a Frigyes Riesz. S názvem "Hilbertův prostor" přišel jako první John von Neumann. Metody Hilbertova prostoru měly velký význam pro funkcionální analýzu.
Hilbertovy prostory se často objevují v matematice, fyzice a technice, často jako nekonečně rozměrné prostory funkcí. Jsou užitečné zejména při studiu parciálních diferenciálních rovnic, kvantové mechaniky, Fourierovy analýzy (která zahrnuje zpracovánísignálů a přenos tepla). Hilbertovy prostory se používají v ergodické teorii, která je matematickým základem termodynamiky. Všechny normální euklidovské prostory jsou také Hilbertovy prostory. Dalšími příklady Hilbertových prostorů jsou prostory čtvercově integrovatelných funkcí, prostory posloupností, Sobolevovy prostory tvořené zobecněnými funkcemi a Hardyho prostory holomorfních funkcí.
Hilbertovy prostory lze využít ke studiu harmonických složek vibrujících strun.
Otázky a odpovědi
Otázka: Co je to Hilbertův prostor?
A: Hilbertův prostor je matematický koncept, který využívá matematiku dvou a tří rozměrů k tomu, aby se pokusil popsat to, co se děje ve větších než třech rozměrech. Je to vektorový prostor se strukturou vnitřního součinu, který umožňuje měřit délku a úhel a musí být také úplný, aby fungoval kalkul.
Otázka: Kdo pojmenoval pojem Hilbertův prostor?
Odpověď: Pojem Hilbertových prostorů poprvé studovali na počátku 20. století David Hilbert, Erhard Schmidt a Frigyes Riesz. S názvem "Hilbertův prostor" přišel John von Neumann.
Otázka: Jaké jsou některé aplikace Hilbertových prostorů?
Odpověď: Hilbertovy prostory se používají v mnoha oblastech, jako je matematika, fyzika, inženýrství, funkcionální analýza, parciální diferenciální rovnice, kvantová mechanika, Fourierova analýza (která zahrnuje zpracování signálů a přenos tepla), ergodická teorie (matematický základ termodynamiky), kvadraticky integrovatelné funkce, posloupnosti, Sobolevovy prostory tvořené zobecněnými funkcemi, Hardyho prostory holomorfních funkcí.
Otázka: Jsou všechny normální euklidovské prostory považovány také za Hilbertovy prostory?
Odpověď: Ano - všechny normální euklidovské prostory se také považují za Hilbertovy prostory.
Otázka: Jak Hilbertovy prostory ovlivnily funkční analýzu?
Odpověď: Použití Hilbertových prostorů znamenalo velký přínos pro funkcionální analýzu tím, že poskytlo nové metody pro studium problémů souvisejících s touto oblastí.
Otázka: Jaký typ matematiky je třeba znát při práci s Hilbertovým prostorem?
Odpověď: Vektorová algebra a kalkul se obvykle používají při práci s dvourozměrnou euklidovskou rovinou nebo třírozměrným prostorem; tyto metody však lze při práci s Hilbertovým prostorem použít i pro libovolný konečný nebo nekonečný počet rozměrů.
